人们在代数方程根的研究主要由于三个方向：
１>关于根的存在性问题．
2>不求解方程而按照它的系数去探索它的根的一些性质，例如它是否具有实数根，有多少个，几个正的几个负的等等问题．
3>关于方程的根的近似计算问题．
第一个问题，由于伽罗瓦的横空出世而获得彻底解决，并由此发展出了近世代数和群论用来解决更一般性问题．由于计算机的发展，第三个问题也得到很好解决，牛顿法在例如matlab, octave，python等工具中得到广泛应用，用这些方法的工具可以很快的解出高次方程的数值解．
关于第二个根分布的问题，在控制科学里面得到广泛应用，在控制系统里面，传递函数的根轨迹是控制系统是否稳定的重要依据，现在还依稀记得当时学习自动控制原理的时候，绘制传递函数的根轨迹的问题．但当时体会不到和代数方程里面的联系原来有这么深刻，最近看了基本关于这个方向的扫盲书，有些新的，记录下来，并且尝试用数形结合的方式说明，这样更直观，容易说清楚理论的东西究竟在现实中有什么意义．
多项式的形式和导数:
对于形如
的多项式，在二维笛卡尔坐标系中用一条曲线表示，参照二次函数的叫法，可以称为n阶抛物线，首先，对于任意实的
,显然有且仅有一个确定的实数
所以函数图像可以左右延伸到任意远的地方，而且
和
随
的变化而连续变化，即没有跳跃和突变，图像没有尖峰，所以
的图像是光滑的曲线，对于绝对值很大的
来说，第一项
的绝对值大于其余一切项的和的绝对值，因为他们都具有较低的次数，所以，如果n是偶数，当
时，
的图像就向左右方的高处无线延伸，
就向低处．
反之，如果n是奇数，则根据
的正负不同，左右两边各向对角方向伸展．
所有多项式在定义与域内都可导的．并导数也是一个多项式:
例如对于十次多项式：
其图像为：
绿色曲线是原多项式，紫色曲线是导数多项式.
不要看到原多曲线有尖峰就断言它不可导，实际上放大看，在尖峰处，函数图像斜率并没有突变，还是很平滑的．根据此图像，我们可以得到结论：
原多项式有四个实根，两个正根和两个负根
导多项式有五个根，两个负根，三个正根．
实际上不满足这里讨论的多项式所有根都是实的条件，所以出现了导多项式实根数大于原多项式的实根数，猜测可能是经过求导运算，高维空间的复数根投影到了三维空间里面，成了它的一个实数根．:)
多项式的单根和重根：
对于多项式：
如果
是一个根，那么
一定可以被
多项式整除，更进一步，如果
不能被
整除，那么
式多项式
的单根，一般的说法，如果多项式
能被
整除，而不能被
那么，数a叫做多项式的k重根.
例如：
是方程
的2重根,而是方程
的单重根．结论很明显．
在代数方程上，k重根应当理解为k个相等的根，而不能认为是一个根．这样理解，就可以很自然的把方程的根数和多项式的次数联系起来．如果约定没一个根所算的次数就是它的重数，那由于每一个n次多项式可以分解为n个一次因子的乘积，多项式的根数就等于它的次数．
多项式的导数的根：
有两条规则：
1.多项式的单根不是它导数的根．
2.多项式的重根是它的导数的根并且重数减１.
设x=a是多项式
的k重根，则下面的
必定不能被
整除.
求导得:
由于
项的存在，
必定不能被
整除．
所以，如果
是多项式方程
的k重根，那么同样x=a是
的 k-1重根．
所以，当k＝１和k>1时，上面的两条结论得到证明．
下面的讨论仅限于方程的一切根都是实根的情况．
多项式的导数的根与原函数的关系:
假如方程的一切根都是实根，则可以应用罗尔定理，下面图像是方程：
的图像，它的所有根都是实根．
则根据罗尔定理：
罗尔定理:假设函数
在闭区间
内连续，在开区间
内可导，如果
,那么在开区间
内至少存在一点
,使得
,也就是说c是
的根．
由于
所以一定存在
其中:
观察函数图像，的确是这样，注意图像中Extremum(f)的返回值
由于
仅有６次，而我们已经找到了它的六个根，所以这六个实根是它的全部的根．
最高次７次，有７个实根.
最高次６次，有６个实根．
所以不出意外，后面可以继续往下写：
最高次5次，有5个实根．
最高次4次，有4个实根．
最高次3次，有3个实根．
最高次2次，有2个实根．
最高次1次，有1个实根．
是０次，为常数7!．
的图形（绿色）与
：五个根
的图形与
：四个根
的图形与
：三个根
的图形与
：两个根
的图形与
：一次直线，１个根
的图形与
：常数7!=5040.无根
可见，猜测是对的！
更一般的结论是：
如果实数a与b是实系统多项式的根，那么在a与b之前有一实数c存在，而且它是导数多项式的根，这是罗尔定理的另一种描述，根据这个定理，可以得到推论，对于多项式
，如果它的一切根都是实的，那么它的导数的一切根也是实的，在
的相邻两根之间有
的一个根，并且是一个单根．
这是因为设
是
的所有根，它们分别具有重数
则必然
根据前面的导数重根的结论，导数有根
且其重数为：
所以一共有
个根，由于
是一次的，按道理应该有
个根，那还差
个根，这些根从哪里来呢？很显然，再一次应用罗尔定理，还有至少有根
分别在
相邻两根的区间：
里面．这样，总根数:
．
满足代数基本定理根个数等于次数的条件，所以我们找到了所有的根，所有根都是实数，且除了重根外，其余单k-1个单根分布在k-1个区间里面，根据抽屉原理，每个区间最多只有一个，不可能有多个，所有有且仅有的条件也得到证明，反映到几何上就是这样的，多项式函数和实轴的两个交点（两个解)之间的图形，只能有一个局部极值，通俗点，两个零点之间的函数图形，只能有一个山包，或者一个山谷，不可能有两个谷或者两个包。
用图形表示如下：
进一步，根据罗尔定理，不但可以确定导函数多项式根的个数，还可以据此判断正根的个数，如果多项式
的一切根都是实的，并且其中有p个是正的，那么
有p个或者p-1个正根．
实际上，设:
是多项是f(x)的一切正根，它们分别具有重数
则：
导数
将具有这些正根:
,分别具有重数
， 和
，分别位于区间
内，是单根，另外，还有可能有一个单根
位于区间
之内，此处
是f(x)最大的负根或者０根．因此，
正根数应该是:
或者
后者是考虑到
的存在．
比如，下图原函数正根数有四个，导函数正根数有三个．注意
没有到正轴这边来．
实际上，通过微调多项式系数，可以将
调整为正的，如下图，将
从上图中的0.8调整到下图中的0.4,会发现
变成了正的，这样，导数多项式的正跟数从三个变成四个了，和原函数的正根数目相同，所以上面的结论得到实践证明．
正根的规律讨论清楚了，负根自然也就清楚了，他们的和等于多项式次数．
如果是从事控制系统相关的专业和行业，应该对控制系统的根轨迹方法很熟悉，实际上，跟轨迹法的本质就是求解代数方程根的分布问题，举个例子,对于如下的控制系统:
开环传递函数是:
传递框图:
那么它的闭环传递函数为:
特征多项式:
令
则:
则Ｍ曲面方程是:
其图像为:
K=0:
K=5.5
K=6.4
随着开环增益K的变化，Ｍ曲面在复平面上扫过的轨迹就是根轨迹，和经典画法画出来的是一致的。
kaihuanfenzi=[1,2];
kaihuanfenmu=[1,2,2];
sys=tf(kaihuanfenzi,kaihuanfenmu);
rlocus(sys);
axis([-8 2 -2 2]);