領悟《信号與系統》之 傅立葉變換的性質與應用

傅立葉變換的性質與應用

• 一、傅裡葉變換性質表
• 二、傅裡葉性質詳細
• • 1. 線性性質
  • 2. 尺度變換特性
  • 3. 時移特性
  • 4. 頻移特性
  • 5. 時域微分特性
  • 6. 頻域微分特性
  • 7. 時域積分特性
  • 8. 頻域積分特性
  • 9. 卷積定理
  • • 1. 時域卷積定理
    • 2. 頻域卷積定理
  • 10. 對稱性
  • 11. 帕塞瓦爾定理

依據傅裡葉變換對概念，一個非周期連續時間信号可以表述為指數函數的積分。根據這個積分的性質可以聯系起時域和頻域的關系。推導出一些非常好用的公式，以簡化運算。

一、傅裡葉變換性質表

二、傅裡葉性質詳細

• 傅裡葉變換式：

  

  該變換式建立起了信号時域與頻域間的聯系，因而，一個信号可以有兩種描述，而且形式可以互相轉換，這裡主要記錄一下信号在時域中進行運算或變化時，在頻域引起的效應。

1. 線性性質

用這個就能複合信号分解，然後分别求單獨的傅裡葉變換，最後再合并，主要就是分解來分步驟解決問題。和LTI 的線性齊次變換一緻的。

• 定義：

  

例題：

2. 尺度變換特性

尺度變換特性說明，連續時間信号在時域展寬（0 < a < 1），對應其頻譜信号在頻域壓縮；時域壓縮（a >1），對應頻域展寬；如果a < 0 ，則時域波形反轉并壓縮或展寬。這一特性說明了時間和頻率之間的反比關系，通常稱為時頻展縮。

(F = 1 / T) 是以成反比哈

該性質在信号處理系統設計時，常常是一重要的衡量因素。例如，希望提高系統的傳輸效率時，需要對待傳輸的信号進行壓縮，但壓縮後的信号則需要設計頻帶更寬的傳輸系統。

• 定義：

  

  證明：

  

例題：

3. 時移特性

這一性質說明，當信号在時間域有移位（表示信号的接入時間有變化），其幅度頻譜不變，相位頻譜将增加一個附加相移 ±ωt0，并且與ω 成線性關系。

• 定義：

  

  證明：

  

例題：

4. 頻移特性

這個用的非常多，他能頻譜搬移，用的非常多。

• 定義：

  

  證明:

  

例題：

頻移特性在各類電子系統中應用廣泛，如調幅、同步解調等都是在頻譜搬移基礎上實作的，實作頻譜搬移的原理如下圖所示。它将信号 f(t) （常稱為調制信号）在時域上乘以載波信号 cos(ω0t) 或 sin(ω0t) ，進而得到高頻已調信号 y(t) ，即

• y(t) = f(t) · cos(ω0t)

  

  下面舉出門函數及高頻脈沖信号的時域波形及其頻譜例子

  

可見，當用某低頻信号 f (t) 去調制角頻率為 ω0 的正弦信号的振幅時，高頻已調信号的頻譜是将 f (t) 的頻譜 F(jω) 按比例複制為二，分别向左和向右搬移 ω0 ，在搬移的過程中，幅度頻譜的形式未改變。上述頻率搬移的過程，在電子技術中就是調幅的過程。

5. 時域微分特性

時域的微分運算用頻域中的乘法運算代替，這樣就簡化運算了

• 定義：

  

  證明：

  

例題：

6. 頻域微分特性

• 定義：

  

  證明：

  

7. 時域積分特性

• 定義：

  

例題：

8. 頻域積分特性

• 定義：

  

例題：

9. 卷積定理

1. 時域卷積定理

兩個時域内相卷積信号的傅裡葉變換為其分别求頻譜的乘積。通過這一性質，我們可以将時域的卷積運算映射到頻域進行。

• 定義：

  

  證明：

  

2. 頻域卷積定理

一個信号乘以另一個信号，可以了解為用一個信号去調制另一個信号的振幅，是以，頻域卷積定理有些書上也稱為（幅度）調制定理

• 定義：

  

例題：

例題：

10. 對稱性

該性質說明，時間變量和頻率變量交換後，都有一種對稱關系（也稱對偶關系）存在。利用這一性質，可以比較友善地分析某些信号的傅裡葉正變換和傅裡葉反變換。

• 定義：

  

  證明：

  

例題：

11. 帕塞瓦爾定理

• 定義：

  

  一般來說，非周期信号不是功率信号，其平均功率為零，但其能量為有限值，故是一個能量信号，其總能量W 為

  

  非周期信号的帕塞瓦爾定理表明：對于非周期信号而言，在時域中求得的信号能量與在頻域中求得的信号能量相等。由于|F(jw)|2 是 w 的偶函數， 也可以寫做: