2022數學模組化美賽A題詳細思路擷取

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自行車手的能量分布

背景

公路自行車賽有很多種類型，包括标準賽、團體計時賽和個人計時賽。在這些比賽中，騎手成功的機會可能會根據比賽的類型、賽道和騎手的能力而有所不同。在個人計時賽中，每個自行車手都需要單獨騎一個固定的賽道，獲勝者是在最短的時間内完成的車手。

每個騎手可以在不同長度的時間内産生不同水準的力量，能量的大小和騎手能産生該水準能量的時間長度在騎手之間有很大的不同。騎手的功率曲線表示騎手能産生給定數量的功率的時間。換句話說，在一段特定的時間内，功率曲線提供了騎手在給定時間内所能保持的最大功率。一般來說，騎手産生的力量越多，騎手在不得不減少力量和恢複之前保持力量的時間就越少。騎手可以選擇短暫地超過他們的功率曲線的限制，但騎手需要額外的時間處于較低的功率水準來恢複。此外，車手在過去的力量輸出很重要，随着比賽的進行，車手會越來越疲勞。

功率曲線是騎行者在一段時間内産生的最大功率的可視化描述，用線形圖表示。圖中X軸表示時間，Y軸表示以瓦為機關的循環功率。由于較大的功率隻能持續很短的時間，功率曲線通常向下向右傾斜。如圖所示：

A season-long cycling power curve from TrainerRoad’s Personal Records chart

騎手們總是希望盡量減少完成一定距離所需的時間。根據一個特定騎手的功率曲線，給定該特定騎手的能力，該騎手在騎行一個給定的計時賽程時應該如何應用力量？此外，許多類型的車手都可以參加個人計時賽，如計時賽專家、登山者、短跑運動員、沖刺者或沖刺者，每種類型的車手都有不同的力量曲線。

功率分布檔案可以反映騎手騎自行車的能力。主要包括四個非常重要的值：沖刺能力(5s最大功率)，無氧能力(1分鐘最大功率)，5分鐘(VO2最大容量)，20分鐘(FTP)。這四個數字除以騎手的重量就是功率檔案，機關是W/Kg。

為了求解本題，可以把騎手看作會自發力的運動體，隻不過這個運動體存在運動功率的限制，也就是騎手的功率分布曲線。是以本題是典型的實體題，需要結合騎手的功率限制和賽道的地形變化等對騎手進行實體受力分析。根據騎手在某一時刻的功率，以及賽道坡度、騎手體重、速度、加速度等參數之間的力學關系，可以求出騎手在該時刻提供的牽引力/加速度，通過引入時間參數t使力與速度/加速度與賽道位置相比對，進而得到騎手在每一位置應采取的功率。

本題的決策變量是選手的功率，我們可以通過時間參數t将功率W與賽道上距起點的位置x聯系起來，則決策變量計為W(t)，有了W(t)曲線，就可以得到不同時刻的位置以及最終完成賽道的時間。W(t)曲線的變化影響最終完成比賽的時間，也就是本題的優化目标。是以可以将本題轉化為求解不同功率（以及其相應能堅持的時長）在W(t)曲線上的分布。進而變成求解運籌優化問題。

要求

建立一個模型，可以應用于任何類型的騎手，以決定騎手在賽道上的位置和騎手所施加的功率之間的關系。請記住，騎手在賽道上可以消耗的總能量有一個限制，以及由過去的進攻性和超過功率曲線限制而積累的限制。

模型的關鍵在于給定騎手的功率檔案和不同賽道位置，求出騎手應該施加的功率。

此處提到的限制并沒有找到相關資料，可能需要自己設計。對于騎手消耗的總能量限制，建議可以先忽略，待結果求解出來後再參考結果設定總能量上限。對于由于過去的功率積累的限制，猜測與前文提到的“騎手可以選擇短暫地超過他們的功率曲線的限制，但騎手需要額外的時間處于較低的功率水準來恢複。”有關，可以自行設定一個恢複期時間和功率，或者參考功率曲線圖中右端較平滑的部分作為恢複功率。（功率曲線圖可以參考該網址：https://www.cyclinganalytics.com/blog/2013/06/comparative-statistics）

您的模型開發和報告應包括以下内容：

定義兩種類型的車手的功率概況。你的一個騎手應該是計時賽專家，另一個應該是不同類型的騎手。你還應該考慮不同性别的騎手的個人資料。

這一問需要給出兩種不同類型騎手分性别的功率檔案，在相關網站上可以找到參考值，不同騎手的功率曲線資料在檔案夾裡，該表包括5秒，1分鐘，5分鐘，以及不同性别和不同類别的功率：

第一問剩餘部分及後續可參考以下連結：

含資料含6面思路

https://mianbaoduo.com/o/bread/Ypebl5Zs