本章主要内容
- 平穩序列的定義
- 平穩性檢驗
- 純随機性檢驗
第一節 平穩序列的定義
機率分布的意義
随機變量的統計特性完全由它的分布函數或密度函數決定
随機變量族｛Xt｝的所有統計特性完全由它們的聯合分布函數或聯合密度函數決定
時間序列的機率分布
對于時間序列｛Xt，t∈T｝，它的機率分布定義如下：
例子
機率分布族實際應用的局限性
一個時間序列的機率結構，被它的有限維分布族唯一決定，在實際應用中，要得到序列的聯合機率分布幾乎是不可能的，而且聯合機率分布通常涉及非常複雜的數學運算——這些原因導緻我們很少直接使用聯合機率分布進行時間序列分析。
解決方案：研究該序列的低階矩（均值、方差、自協方差、自相關系數，也成為特征量）
特征量
平穩時間序列的定義
嚴平穩（也稱強平穩）：認為隻有當序列所有的統計性質都不會随時間推移而發生變化時，該序列才能被認為平穩。
寬平穩：認為序列的統計性質主要由它的低階矩決定，是以隻要保證序列低階矩平穩（二階），就能保證序列的主要性質近似穩定。（也稱為弱平穩、協方差平穩或二階平穩）
例１
例２
嚴平穩與寬平穩的關系
差別：
寬平穩對時間推移的不變性表現在統計平均的一、二階矩上，對高于二階的矩沒有任何要求。
嚴平穩對時間推移的不變性表現在機率分布上，進而保證序列的統計特征都相同。
聯系：
正态時間序列
正态時間序列的密度函數
從正态時間序列的密度函數可以看出，其ｎ維分布僅由其均值向量和自協方差陣決定．換言之，正态時間序列的二階矩平穩，等價于分布平穩，是以寬平穩的正态時間序列一定是嚴平穩的。
平穩時間序列的統計性質
１.常數均值
２.自協方差函數和自相關系數隻依賴于時間的平移長度而與時間的起止點無關
自相關系數的性質
時間序列資料結構的特殊性
平穩性的重大意義
在平穩序列場合，序列的均值等于常數，這意味着原本含有可列多個随機變量的均值序列變成了隻含有一個變量的常數序列。
原本每個随機變量的均值（方差、自相關系數）隻能依靠唯一的一個樣本觀察值去估計，現在由于平穩性，每一個統計量都将擁有大量的樣本觀察值。這極大地減少了随機變量的個數，即極大地減少了待估參數的個數，并增加了待估變量的樣本容量。極大地簡化了時序分析的難度，同時也提高了對特征量的估計精度。