本章主要内容
- 平稳序列的定义
- 平稳性检验
- 纯随机性检验
第一节 平稳序列的定义
概率分布的意义
随机变量的统计特性完全由它的分布函数或密度函数决定
随机变量族｛Xt｝的所有统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定
时间序列的概率分布
对于时间序列｛Xt，t∈T｝，它的概率分布定义如下：
例子
概率分布族实际应用的局限性
一个时间序列的概率结构，被它的有限维分布族唯一决定，在实际应用中，要得到序列的联合概率分布几乎是不可能的，而且联合概率分布通常涉及非常复杂的数学运算——这些原因导致我们很少直接使用联合概率分布进行时间序列分析。
解决方案：研究该序列的低阶矩（均值、方差、自协方差、自相关系数，也成为特征量）
特征量
平稳时间序列的定义
严平稳（也称强平稳）：认为只有当序列所有的统计性质都不会随时间推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。
宽平稳：认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。（也称为弱平稳、协方差平稳或二阶平稳）
例１
例２
严平稳与宽平稳的关系
区别：
宽平稳对时间推移的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上，对高于二阶的矩没有任何要求。
严平稳对时间推移的不变性表现在概率分布上，从而保证序列的统计特征都相同。
联系：
正态时间序列
正态时间序列的密度函数
从正态时间序列的密度函数可以看出，其ｎ维分布仅由其均值向量和自协方差阵决定．换言之，正态时间序列的二阶矩平稳，等价于分布平稳，所以宽平稳的正态时间序列一定是严平稳的。
平稳时间序列的统计性质
１.常数均值
２.自协方差函数和自相关系数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关
自相关系数的性质
时间序列数据结构的特殊性
平稳性的重大意义
在平稳序列场合，序列的均值等于常数，这意味着原本含有可列多个随机变量的均值序列变成了只含有一个变量的常数序列。
原本每个随机变量的均值（方差、自相关系数）只能依靠唯一的一个样本观察值去估计，现在由于平稳性，每一个统计量都将拥有大量的样本观察值。这极大地减少了随机变量的个数，即极大地减少了待估参数的个数，并增加了待估变量的样本容量。极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对特征量的估计精度。