錯排公式的推導及應用

同時釋出在我的個人部落格：https://hushhw.cn/posts/learn/15287.html

以下是原文：

之前就遇到過錯排公式的題，但是自己沒有注意這個知識點，以為隻要硬記住就好啦，結果就是不知道推導過程完全記不住呀，是以今天認真整理一下錯排公式相關的點。

錯排公式的推導

考慮一個有n個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的一個錯排，n個元素的錯排記為D(n)。下面就是求出D(n)為多少中排列。

首先我們拿第一個元素的放置來了解一下這個過程：把元素1放在除自己原來的位置以外的位置，共有(n-1)種，假設第一個元素被放在了第k個元素的位置上，對第k個元素而言就有兩種情況要讨論了，第一種，它放在非第一個位置上，是以對于接下來的排列就相當于是n-1個元素的錯排，即D(n-1)；第二種，它就放在第1個元素的位置上，是以排列D(n)中有兩個元素已經找到位置了，那麼接下來就隻需要考慮n-2個元素的錯排，即D(n-2)。由此，我們就可以寫出遞推式對于D(n)都有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))【特殊的情況 D(1)=0, D(2)=1】。

下面通過這個遞推關系進行推導：

為了運算友善，我們設D(n)=n!N(n)，則有：

n!N(n) = (n-1)(n-2)!N(n-2) + (n-1)(n-1)!N(n-1); 對兩邊同時除以(n-1)!，可得：

nN(n) = N(n-2)+(n-1)*N(n-1)，移項：

N(n) - N(n-1) = (N(n-2) - N(n-1))/n = -(1/n)(N(n-1) - N(n-2))，是以，由此可以推出

N(n-1) - N(n-2) = -(1/(n-1))(N(n-2) - N(n-3))

……

N(2) - N(1) = 1/2;

由此，将每個式子相加得到：N(n) - N(1) = (1/2! - 1/3! + 1/4! - ……+((-1)^(n-1))/(n-1)! + (-1)^n/n!)

由于N(1) = 0，是以N(n) = (1/2! - 1/3! + 1/4! - …… +((-1)^(n-1))/(n-1)! + (-1)^n/n!)，于是可以得到：

錯排公式D(n) = n!(1/2! - 1/3! + 1/4! - …… +((-1)^(n-1))/(n-1)! + (-1)^n/n!)。

錯排公式的應用解題

【hdu2049】考新郎

題目描述

在一場盛大的集體婚禮中,為了使婚禮進行的豐富一些,司儀臨時想出了有一個有意思的節目,叫做"考新郎",具體的操作是這樣的:

輸入

輸入資料的第一行是一個整數C,表示測試執行個體的個數，然後是C行資料，每行包含兩個整數N和M(1< M<=N<=20)

輸出

對于每個測試執行個體，請輸出一共有多少種發生這種情況的可能，每個執行個體的輸出占一行。

示例輸入

2

2 2

3 2

最開始做着題的時候就直接求解排列組合C(n,m)，沒有考慮錯排m個元素D(m)的問題，這裡用上面的兩種方法分别寫出代碼：

方法一：遞推公式 D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)) [D(1)=0，D(2)=1]

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

long long f[22];  
void init()//錯排  
{  
	f[1]=0;  
	f[2]=1;  
	for(int i=3;i<=20;i++)  
	{  
		f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);  
	}  
	return ;  
}  

int c(int x, int y){  
	int n=x, m=y;
	int sum=1,a=1,b=1;  
	for(int i=1;i<=y;i++)  {  
		a*=n;  
		n--; 
		b*=m;  
		m--; 
	}  
	sum=a/b;  
	return sum;
}

int main(){  
	int N,M;  
	init();  
	while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF)  
	{  
		
		cout<<c(N,M)*f[M]<<endl;  
	}  
	return 0;  
}   
           

方法二：通項公式 D(n)=n!*(1/2!-1/3!+1/4!- 1/5!+ ··· ··· +((-1)(n-1))/(n-1)!+((-1)n)/n! )

對通項先進行簡單變形：

C(n,m)D(m) = (n!/(m!(n-m)!))D(m) = n!(1/2!-1/3!+1/4!- 1/5!+ ··· ··· +((-1)(m-1))/(m-1)!+((-1)m)/m! )/(n-m)!

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
typedef long long ll;
using namespace std;

long long f[22];  


int c(int n){  
	ll sum=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		sum*=i;
	return sum;
}

int main(){  
	int N,M;   
	while(scanf("%d%d",&N,&M)!=EOF)  
	{  
		ll a=c(N), sum=0, b=c(N-M);
		for(int i=2; i<=M; ++i){
			a/=i;
			if(i%2==0)
				sum+=a;
			else
				sum-=a;
		}
		cout<<sum/b<<endl;
	}  
	return 0;  
}   
           

本文内容參考自：

http://blog.csdn.net/yangyuhao0408/article/details/50971170