「6」線性代數（期末複習）

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目錄

第五章    相似矩陣及二次型

&2）方陣的特征值與特征向量

&3）相似矩陣

第五章    相似矩陣及二次型

&2）方陣的特征值與特征向量

定義6:設A是n階矩陣，如果數𝛌和n維非零列向量x使關系式

Ax=𝛌x（1）

成立，那麼，這樣的數𝛌稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為A的對應于特征值𝛌的特征向量

（1）式也可寫為

(A-𝛌E)x=0

這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數行列式

｜A-𝛌E｜=0

特征值的性質：

設n階矩陣A=a[I][j]的特征值為𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[n]

（i）𝛌[1]+𝛌[2]+…+𝛌[n]=a[1][1]+a[2][2]+…+a[n][n]

（ii）𝛌[1]𝛌[2]…𝛌[n]=|A|

定理2    設𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[m]是方陣A的m個特征值，p[1],p[2],..,p[m]依次是與之對應的特征向量，如果𝛌[1],𝛌[2],…,𝛌[m]各不相等，則p[1],p[2],..,p[m]線性無關

推論    設𝛌[1]，𝛌[2]是方陣A的兩個不同特征值，𝜉[1],𝜉[2],...,𝜉[s]和𝜂[1],𝜂[2],…,𝜂[t]分别是對應于𝛌[1]和𝛌[2]的線性無關的特征向量，𝜉[1],𝜉[2],...,𝜉[s],𝜂[1],𝜂[2],…,𝜂[t]線性無關

&3）相似矩陣

定義7:設A,B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P,使

P^-1AP=B

則稱B是A的相似矩陣，或說矩陣A與B相似，對A進行運算P^-1AP稱為對A進行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣

定理3    若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，進而A與B特征值也相同

推論：若n階矩陣A與對角陣

相似，則𝛌[1]𝛌[2]…𝛌[n]即是A的n個特征值

定理4    n階矩陣A與對角矩陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量

推論    如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似（如果特征值相等，也可能A與對角陣相似，看這個相等的特征值對應的特征向量，如果一共有n個特征向量，A與對角陣相似（特征向量就是基礎解系））

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