坐标變換
為了簡化自然坐标系下三相 PMSM 的數學模型，PMSM控制算法中采用的坐标變換通常包括靜止坐标變換（ Clark 變換）和同步旋轉坐标變換（ Park變換） 。各坐标系如下圖所示，其中，ABC為三相坐标系，α-β為靜止坐标系（α與A相重合，β與α垂直，逆時針旋轉90°），d-q為同步旋轉坐标系（d軸為直軸，代表勵磁分量，q軸為交軸，代表力矩分量；dq軸可了解為建立在轉子上，與轉子一起旋轉）。圖中 ω e \omega _{e} ωe為轉子角速度， θ e \theta_{e} θe為電角度。
ABC為三相坐标系下，三相電壓的大小是随時間變化的正弦波形，相位依次相差120°，如下圖所示：
α-β靜止坐标系下，αβ的大小也是随時間變化的正弦波形，相位相差90°（β滞後α 90°），如下圖：
d-q同步旋轉坐标系的旋轉角速度與轉子角速度相同，d-q軸的分量為恒定不變的兩個值，如圖所示：
Clark變換
Clark變換：三相坐标系到兩相（α-β）靜止坐标系，ABC→αβ（3S→2S），坐标變換公式如下（f0為零序分量，計算時可忽略不計）：
其中，f可以代表電機的電壓、電流、磁鍊等變量，根據三相坐标向兩相（α-β）靜止坐标投影，可得到Clark坐标變換矩陣如下：
變換矩陣前的系數 2 /3 是根據幅值不變原則作為限制條件得到的；當采用功率不變原則作為限制條件時，該系數變為 2 3 \sqrt{\frac{2}{3}} 32
。 本系列采取幅值不變原則。
MATLAB/Simulink搭建Clark變換仿真模型如下：
仿真輸入為三相ABC，幅值100，角速度2π*50，相位差120°的三相正弦波
仿真結果如下，可以看出Clark變換後，三相正弦波ABC變為兩相正弦波αβ，幅值不變，β滞後α相位90°。
Park變換
Park變換：兩相（α-β）靜止坐标系到d-q同步旋轉坐标系，αβ→dq（2s→2r），坐标變換公式如下
根據兩相（α-β）靜止坐标向d-q坐标軸投影，可得到Park坐标變換矩陣（旋轉變換矩陣）如下，細心觀察可以發現該變換矩陣為正交矩陣，是以Park變換本質是正交變換。
MATLAB/Simulink搭建Park變換仿真模型如下：
仿真輸入為兩相αβ及轉子角度θ，其中αβ兩相正弦波幅值100，角速度2π50，β滞後α相位90°，轉子角度θ為角速度2π50乘以時間（與坐标系旋轉角速度一緻）。
仿真結果如下，可以看出Park變換後，兩相正弦波α-β變為d-q兩個直流分量，且此時d=0，q=-100，依然滿足幅值不變原則。
反Park變換
反Park變換：d-q同步旋轉坐标系到兩相（α-β）靜止坐标系，dq→αβ（2r→2s），坐标變換公式如下
其中，反Park變換矩陣 T 2 r / 2 s T_{2r/2s} T2r/2s與Park變換矩陣 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r互為逆矩陣，Park變換矩陣 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r為正交矩陣，是以反Park變換矩陣 T 2 r / 2 s T_{2r/2s} T2r/2s将Park變換矩陣 T 2 s / 2 r T_{2s/2r} T2s/2r轉置即可得到。
MATLAB/Simulink搭建反Park變換仿真模型如下：
仿真輸入為兩個直流量（d=0，q=-100）及轉子角度θ（2π*50t）,仿真結果如下,可以看出反Park變換正好與Park變換結果相反。