傅裡葉變換的離散型與周期性
文章目錄
- 傅裡葉變換的離散型與周期性
- 前言
- 1.連續時間與連續頻率
- 2.連續時間與離散頻率
- 3.離散時間與連續頻率
- 4.離散時間與離散頻率
前言
通過傅裡葉級數，即周期函數可以轉換為一系列離散頻率的波的疊加
以及z變換，即離散序列可以表示為頻域裡連續的周期函數
我們可以發現美妙的對稱性
離 散 ↔ 周 期 離散\leftrightarrow 周期 離散↔周期
時域離散，則頻域周期
時域周期，則頻域離散
時域非離散非周期，頻域非離散非周期
時域離散且周期，頻域也離散且周期
兩邊的周期的倒數互為對方離散時候的間隔
時域的間隔用 T S T_S TS表示，下标為s
頻域的間隔用 f 1 f_1 f1表示，下标為1
1.連續時間與連續頻率
X ( f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j 2 π f t d t x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ X ( f ) e j 2 π f t d f X(f)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi f t}dt\\\ \\ x(t)=\int_{-\infty}^\infty X(f)e^{j2\pi f t}df X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdt x(t)=∫−∞∞X(f)ej2πftdf
2.連續時間與離散頻率
時域為周期函數 周期 T 1 T_1 T1
由傅裡葉級數的經驗，X(f)可表示為X(kf)，為第k個波的系數，且由三角函數正交性，X(kf)積分限為時域的一個周期
X ( k f 1 ) = 1 T 1 ∫ T 1 x ( t ) e − j 2 π k f 1 t d t x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ X ( k f 1 ) e j 2 π k f 1 t f 1 = 1 T 1 X(kf_1)=\frac 1 {T_1}\int_{T_1}x(t)e^{-j2\pi kf_1 t}dt\\\ \\ x(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty X(kf_1)e^{j2\pi kf_1 t}\\\ \\ f_1=\frac 1 {T_1} X(kf1)=T11∫T1x(t)e−j2πkf1tdt x(t)=k=−∞∑∞X(kf1)ej2πkf1t f1=T11
3.離散時間與連續頻率
即DTFT
X ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) e − j 2 π f n T s x ( n T s ) = 1 f s ∫ f s X ( f ) e j 2 π f n T s d f f s = 1 T s X(f)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)e^{-j2\pi f n T_s}\\\ \\ x(nT_s)=\frac 1 {f_s}\int_{f_s}X(f)e^{j2\pi f n T_s}df\\\ \\ f_s=\frac 1 {T_s} X(f)=n=−∞∑∞x(nTs)e−j2πfnTs x(nTs)=fs1∫fsX(f)ej2πfnTsdf fs=Ts1
可以看出來一些公式上的對稱性了
4.離散時間與離散頻率
X ( k f 1 ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T s ) e − j 2 π k f 1 n T s X(kf_1)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(nT_s)e^{-j2\pi kf_1 n T_s} X(kf1)=n=−∞∑∞x(nTs)e−j2πkf1nTs
X ( k f 1 ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n T s ) e − j 2 π k f 1 n T s X(kf_1)=\sum_{n=0}^{N-1} x(nT_s)e^{-j2\pi kf_1 n T_s} X(kf1)=n=0∑N−1x(nTs)e−j2πkf1nTs
x ( n T s ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k f 1 ) e j 2 π k f 1 n T s 需 要 說 明 ， 這 裡 倆 公 式 都 是 從 3 離 散 時 間 與 連 續 頻 率 中 導 出 的 ， 提 到 2 隻 是 為 了 方 便 理 解 求 和 限 的 變 化 ， 當 然 也 可 以 全 從 2 中 導 出 隻 不 過 1 N 的 位 置 會 發 生 變 化 ， 但 這 并 不 重 要 。 結 合 T s f 1 = N ， 可 得 到 最 終 的 公 式 ， 稱 為 離 散 傅 裡 葉 級 數 。 x(nT_s)=\frac 1 N \sum_{k=0}^{N-1} X(kf_1)e^{j2\pi kf_1 n T_s}\\\ \\ 需要說明，這裡倆公式都是從3離散時間與連續頻率中導出的，\\ 提到2隻是為了友善了解求和限的變化，當然也可以全從2中導出\\ 隻不過\frac 1 N的位置會發生變化，但這并不重要。\\ 結合T_sf_1=N，可得到最終的公式，稱為\color{red}離散傅裡葉級數\color{black}。 x(nTs)=N1k=0∑N−1X(kf1)ej2πkf1nTs 需要說明，這裡倆公式都是從3離散時間與連續頻率中導出的，提到2隻是為了友善了解求和限的變化，當然也可以全從2中導出隻不過N1的位置會發生變化，但這并不重要。結合Tsf1=N，可得到最終的公式，稱為離散傅裡葉級數。