信号與系統

匆忙整理，淩亂不堪。待補。

信号

信号

• 描述方法：函數表達式、波形圖、數值表
• 基本分類

信号的分類

• 确定信号與随機信号
• 周期信号與非周期信号
• 連續信号與離散信号
• 模拟信号與數字信号

信号的分解

• 直流分量與交流分量，能量信号與功率信号
• 奇偶分量（某種正交性）
• 分解成脈沖函數
• 分解成正交函數

正交函數

• 正交：函數内積（積分）為0
• 正交函數集：彼此正交

• 系數即在分量下的投影，歸一化。

  ci=∫f(t)gi(t)dtg2i(t)dt

• 方均差為0不代表能量相等（可能不完備）
• 完備正交函數集。性質：滿足Parseval公式：信号能量等于各分量能量和

相關

• 相關系數：兩個函數的夾角（歸一化的内積）

• 相關函數：兩個函數的相關函數是關于延遲 τ 的函數；功率信号，周期平均的内積

  R12(τ)=∫f1(t)f2(t−τ)dt

• 自相關函數：能量信号，和自己的相關函數；功率信号，周期平均的内積

信号的基本運算

延遲

比例

疊加

相乘

采樣信号(sinc function)

Sa(t)=sinc(t)=sin(t)t

是能量信号（平方可積），不穩定系統（不絕對可積）

機關階躍信号(heaviside函數)

• 信号接入 e(t)=f(t)u(t)
• 矩形脈沖 u(t−τ)−u(t+τ)
• 機關斜坡信号 ramp(t)=tu(t)
• 符号函數 sgn(t)=2u(t)−1

機關沖激信号

• 極限定義：高斯函數 σ→0 ……

• 從極限過程看奇異信号之間的關系

  δ(t)=limτ→01τ[u(t+τ2)−u(t−τ2]

  δ′(t)=limτ→01τ[δ(t+τ2)−δ(t−τ2]

• ∫f(t)δ(t)dt=f(0)
• f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
• δ(at)=δ(t)|a|
• δ[h(t)]=∑kδ(t−tk),ak=1|h′(tk)|
• 1tδ(t)=−δ′(t)
• 1tnδ(t)=(−1)nn!δ(n)(t)

沖擊偶信号

• ∫f(t)δ′(t)dt=−f′(0)
• ∫f(t)δn(t−τ)dt=(−1)nf(n)(0)
• δ′(at)=δ′(t)a|a|
• δ(k)(at)=δ(k)(t)ak|a|

傅裡葉分析

周期信号均可被表示為各種簡諧波的權重和；

非周期信号均可用簡諧波信号的權重積分表示。

傅裡葉級數

• 定義
• 傅裡葉級數收斂充分條件（Dirichlet）：在一個周期内間斷點的數目有限；極值點個數有限；信号絕對可積
• 函數的對稱性與傅氏級數系數的關系，奇偶、奇偶諧
• 常把展開式寫成抽樣函數的形式
• 頻譜特征：
  • 離散性：譜線間隔 ω1=2πT1
  • 諧波性：各次諧波疊加，諧波分量幅度正比于 AτT1
  • 收斂性：譜線的幅度按包絡曲線變化，主要能量集中在第一包絡内
• 周期信号 f(t) 與其傅氏級數在能量上相等

幾種特殊的傅裡葉級數

（表格）

一般周期信号

周期矩形信号

周期對稱方波信号

周期鋸齒信号

周期三角信号

周期半波餘弦信号

周期全波餘弦信号

傅裡葉變換

• 定義
• 對稱性
  • 時頻對稱性
  • 時頻中心縱坐标的對稱性（w=0）
  • 實函數時間信号指數和三角式的對稱
  • 共轭對稱 F(ω)=F∗(−ω)
• 線性性

• 比例變換性質：時域上壓縮對應頻譜的擴充

  F[f(at)]=1|a|F(ωa)

• 頻域帶寬 B0=f(0)2F(0) ，時域持續時間 T0=F(0)f(0)
• 時移性質：時域延遲對應頻域負相移
• 頻移性質：頻域向右( ω−ω0 )位移對應時域正相移
• 卷積定理：時域卷積對應于頻域相乘
• 頻域卷積對應時域相乘 ∗2π
• 微分性質：時域微分對應頻域 ∗jω ；頻域微分對應時域 ∗(−jt)
• 積分性質：時域積分對應 /jω ；頻域積分對應

• 相關定理：

  F[R12(τ)↔F1(ω)F2∗(ω)]

  F[R(τ)↔|F(ω)|2

• Parseval公式：時域平方積分=頻域平方積分 /2π ，能量關系
• 能譜函數與自相關函數是一對傅裡葉變換。

幾種特殊的傅裡葉變換

矩形脈沖信号 AτSa(ωτ2)

把直流信号看作脈沖脈寬變大的極限 2πAδ(ω)

階躍信号看作指數函數的極限 1jω+πδ(ω)

符号函數 sgn(t)=2u(t)−1 推出 2jω

沖激信号

傅裡葉級數和傅裡葉變換

周期信号的傅裡葉變換

周期延拓後的傅裡葉級數

兩者結合，給定非周期信号f0(t)，則信号fT(t)的變換為

抽樣定理

拉普拉斯變換

拉普拉斯變換

• 定義

  L[f(t)]=∫f(t)e−stdt

• 一般研究單邊拉普拉斯變換，積分限認為是從 0− 開始
• 收斂域在s平面上最右邊奇異點的右側

• 收斂的充分條件

  存在某個實數 σ0<∞,limt→∞f(t)e−σ0t=0 ，則在區域 Re(s)>σ0 内，拉普拉斯積分式絕對一緻收斂

• 有限時間信号在全平面收斂
• 普通函數、有界函數的拉氏變換為真分式
• 奇異函數的拉氏變換為多項式

常見信号的拉普拉斯變換

（表格）

幂函數

階躍函數

沖激函數

基本性質

• 線性性
• 時域微分

• 時域積分

  收斂區間求導可能擴大，積分可能縮小

• 頻域微分
• 頻域積分
• 初值定理
• 終值定理
• 時域平移
• 頻域平移
• 卷積定理

逆變換

公式法：不實用

有理分式+留數法：

極點為實數單根

極點為共轭複根

極點為重根

利用拉氏變換性質

極零圖

• 在s平面上标出系統 H(s) 的所有零點和極點
• 零點位置不同對 h(t) 的影響：零點如果不抵消極點，則隻影響幅度和相位
• 極點不同則收斂性不同，決定了系統的穩定性和頻域特性
• 有限時間信号分子中有 1−e−sτ 項，有無窮多個零點，可能抵消原來的極點。

系統

疊加性和均勻性

時不變性

響應和激勵有相同的延遲

線性時不變系統

• 滿足疊加性和均勻性、是不變性
• 滿足微積分特性

因果性

響應不依賴于激勵時間以前的信号

h(t)=0,t<0

可逆性

由響應可以确定激勵

穩定性

BIBO

∫|h(τ)|dτ=M<∞

線性系統穩定的充要條件：

∫|h(t)|dt<M<∞

1. 含在右半平面的極點不穩定；含在虛軸上的二階及以上極點不穩定；僅含虛軸上一階極點臨界穩定；不含右半平面和虛軸上極點穩定。

2. 表達式化簡後，含s的項不穩定

3. 系統函數分母多項式的根位于左開平面是必要條件：a. 分母多項式無缺項；b. 所有系數的符号相同。

4. 羅斯-霍爾維茲準則

電路微分方程解法

響應

零狀态響應+零輸入響應

自由響應（暫态響應，衰減到0）+受迫響應（穩态響應，幅值不變）

線性性展現在零狀态響應上

線性系統的零狀态響應與零輸入響應、以及系統的沖激響應或階躍響應分析，在理論上構成了系統時域分析方法的基礎。

沖激響應h(t)

• 與階躍響應共同點：全頻信号，可以反映信号頻譜；時域信号可以由此疊加。
• 初始條件為0
• 求解沖激響應
• 可以完全确定一個LTI系統

階躍響應g(t)

• 是沖激響應的積分

卷積

• 定義： f1(t)∗f2(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ
• 圖解法求卷積
• 與奇異信号的卷積
  • 沖激函數是機關元 f(t)∗δ(t)=f(t)
  • 延遲的沖激函數是理想延遲器 f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0)
  • 階躍函數是理想積分器 f(t)∗u(t)=∫t∞f(τ)dτ
  • 沖激偶函數是理想微分器 f(t)∗δ′(t)=f′(t)
• 卷積運算
  • 交換律
  • 結合律
  • 對加法的配置設定律
• 任意響應=激勵和沖激響應的卷積=激勵的微分和階躍響應的卷積（ e(t) 和 h(t) 當 t→∞ 時都趨于0）
• 激勵的微/積分和沖激響應的卷積是響應的微/積分

頻響

在正弦波激勵下的穩态響應。

1. 無右半平面極點；
2. 左半平面極點穩态響應為0

3. 是以響應還是正弦波

   頻響的獲得：

4. 極零點矢量法：

   應用方法，借助矢量，分别考察h(s)的幅頻和相頻響應。

   w在虛軸上取幾個特殊值。

5. 三維圖的方法：

   判斷要點：1. 極點特征；2. 零點特征； 3. 确定|H(0)|和|H(\infty)|的趨勢

全通函數

最小相移函數

任一個因果穩定都可以表示成全通系統和最小相位系統的級聯。

失真

群時延：

不失真的系統的群時延是一個正常數。

理想濾波器

理想低通濾波器：不滿足因果性，不可實作，不絕對可積，不穩定

理想帶通濾波器：不滿足因果性，不可實作，不絕對可積，不穩定

理想高通濾波器：不滿足因果性，不可實作，不絕對可積，不穩定

四種類型

Butterworth, Chebshev, 橢圓

系統的實體可實作性：佩利-維納準則（必要條件）、希爾伯特變換

Thanks to Chen Chen