信号与系统

匆忙整理，凌乱不堪。待补。

信号

信号

• 描述方法：函数表达式、波形图、数值表
• 基本分类

信号的分类

• 确定信号与随机信号
• 周期信号与非周期信号
• 连续信号与离散信号
• 模拟信号与数字信号

信号的分解

• 直流分量与交流分量，能量信号与功率信号
• 奇偶分量（某种正交性）
• 分解成脉冲函数
• 分解成正交函数

正交函数

• 正交：函数内积（积分）为0
• 正交函数集：彼此正交

• 系数即在分量下的投影，归一化。

  ci=∫f(t)gi(t)dtg2i(t)dt

• 方均差为0不代表能量相等（可能不完备）
• 完备正交函数集。性质：满足Parseval公式：信号能量等于各分量能量和

相关

• 相关系数：两个函数的夹角（归一化的内积）

• 相关函数：两个函数的相关函数是关于延迟 τ 的函数；功率信号，周期平均的内积

  R12(τ)=∫f1(t)f2(t−τ)dt

• 自相关函数：能量信号，和自己的相关函数；功率信号，周期平均的内积

信号的基本运算

延迟

比例

叠加

相乘

采样信号(sinc function)

Sa(t)=sinc(t)=sin(t)t

是能量信号（平方可积），不稳定系统（不绝对可积）

单位阶跃信号(heaviside函数)

• 信号接入 e(t)=f(t)u(t)
• 矩形脉冲 u(t−τ)−u(t+τ)
• 单位斜坡信号 ramp(t)=tu(t)
• 符号函数 sgn(t)=2u(t)−1

单位冲激信号

• 极限定义：高斯函数 σ→0 ……

• 从极限过程看奇异信号之间的关系

  δ(t)=limτ→01τ[u(t+τ2)−u(t−τ2]

  δ′(t)=limτ→01τ[δ(t+τ2)−δ(t−τ2]

• ∫f(t)δ(t)dt=f(0)
• f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
• δ(at)=δ(t)|a|
• δ[h(t)]=∑kδ(t−tk),ak=1|h′(tk)|
• 1tδ(t)=−δ′(t)
• 1tnδ(t)=(−1)nn!δ(n)(t)

冲击偶信号

• ∫f(t)δ′(t)dt=−f′(0)
• ∫f(t)δn(t−τ)dt=(−1)nf(n)(0)
• δ′(at)=δ′(t)a|a|
• δ(k)(at)=δ(k)(t)ak|a|

傅里叶分析

周期信号均可被表示为各种简谐波的加权和；

非周期信号均可用简谐波信号的加权积分表示。

傅里叶级数

• 定义
• 傅里叶级数收敛充分条件（Dirichlet）：在一个周期内间断点的数目有限；极值点个数有限；信号绝对可积
• 函数的对称性与傅氏级数系数的关系，奇偶、奇偶谐
• 常把展开式写成抽样函数的形式
• 频谱特征：
  • 离散性：谱线间隔 ω1=2πT1
  • 谐波性：各次谐波叠加，谐波分量幅度正比于 AτT1
  • 收敛性：谱线的幅度按包络曲线变化，主要能量集中在第一包络内
• 周期信号 f(t) 与其傅氏级数在能量上相等

几种特殊的傅里叶级数

（表格）

一般周期信号

周期矩形信号

周期对称方波信号

周期锯齿信号

周期三角信号

周期半波余弦信号

周期全波余弦信号

傅里叶变换

• 定义
• 对称性
  • 时频对称性
  • 时频中心纵坐标的对称性（w=0）
  • 实函数时间信号指数和三角式的对称
  • 共轭对称 F(ω)=F∗(−ω)
• 线性性

• 比例变换性质：时域上压缩对应频谱的扩展

  F[f(at)]=1|a|F(ωa)

• 频域带宽 B0=f(0)2F(0) ，时域持续时间 T0=F(0)f(0)
• 时移性质：时域延迟对应频域负相移
• 频移性质：频域向右( ω−ω0 )位移对应时域正相移
• 卷积定理：时域卷积对应于频域相乘
• 频域卷积对应时域相乘 ∗2π
• 微分性质：时域微分对应频域 ∗jω ；频域微分对应时域 ∗(−jt)
• 积分性质：时域积分对应 /jω ；频域积分对应

• 相关定理：

  F[R12(τ)↔F1(ω)F2∗(ω)]

  F[R(τ)↔|F(ω)|2

• Parseval公式：时域平方积分=频域平方积分 /2π ，能量关系
• 能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。

几种特殊的傅里叶变换

矩形脉冲信号 AτSa(ωτ2)

把直流信号看作脉冲脉宽变大的极限 2πAδ(ω)

阶跃信号看作指数函数的极限 1jω+πδ(ω)

符号函数 sgn(t)=2u(t)−1 推出 2jω

冲激信号

傅里叶级数和傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换

周期延拓后的傅里叶级数

两者结合，给定非周期信号f0(t)，则信号fT(t)的变换为

抽样定理

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

• 定义

  L[f(t)]=∫f(t)e−stdt

• 一般研究单边拉普拉斯变换，积分限认为是从 0− 开始
• 收敛域在s平面上最右边奇异点的右侧

• 收敛的充分条件

  存在某个实数 σ0<∞,limt→∞f(t)e−σ0t=0 ，则在区域 Re(s)>σ0 内，拉普拉斯积分式绝对一致收敛

• 有限时间信号在全平面收敛
• 普通函数、有界函数的拉氏变换为真分式
• 奇异函数的拉氏变换为多项式

常见信号的拉普拉斯变换

（表格）

幂函数

阶跃函数

冲激函数

基本性质

• 线性性
• 时域微分

• 时域积分

  收敛区间求导可能扩大，积分可能缩小

• 频域微分
• 频域积分
• 初值定理
• 终值定理
• 时域平移
• 频域平移
• 卷积定理

逆变换

公式法：不实用

有理分式+留数法：

极点为实数单根

极点为共轭复根

极点为重根

利用拉氏变换性质

极零图

• 在s平面上标出系统 H(s) 的所有零点和极点
• 零点位置不同对 h(t) 的影响：零点如果不抵消极点，则只影响幅度和相位
• 极点不同则收敛性不同，决定了系统的稳定性和频域特性
• 有限时间信号分子中有 1−e−sτ 项，有无穷多个零点，可能抵消原来的极点。

系统

叠加性和均匀性

时不变性

响应和激励有相同的延迟

线性时不变系统

• 满足叠加性和均匀性、是不变性
• 满足微积分特性

因果性

响应不依赖于激励时间以前的信号

h(t)=0,t<0

可逆性

由响应可以确定激励

稳定性

BIBO

∫|h(τ)|dτ=M<∞

线性系统稳定的充要条件：

∫|h(t)|dt<M<∞

1. 含在右半平面的极点不稳定；含在虚轴上的二阶及以上极点不稳定；仅含虚轴上一阶极点临界稳定；不含右半平面和虚轴上极点稳定。

2. 表达式化简后，含s的项不稳定

3. 系统函数分母多项式的根位于左开平面是必要条件：a. 分母多项式无缺项；b. 所有系数的符号相同。

4. 罗斯-霍尔维兹准则

电路微分方程解法

响应

零状态响应+零输入响应

自由响应（暂态响应，衰减到0）+受迫响应（稳态响应，幅值不变）

线性性体现在零状态响应上

线性系统的零状态响应与零输入响应、以及系统的冲激响应或阶跃响应分析，在理论上构成了系统时域分析方法的基础。

冲激响应h(t)

• 与阶跃响应共同点：全频信号，可以反映信号频谱；时域信号可以由此叠加。
• 初始条件为0
• 求解冲激响应
• 可以完全确定一个LTI系统

阶跃响应g(t)

• 是冲激响应的积分

卷积

• 定义： f1(t)∗f2(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ
• 图解法求卷积
• 与奇异信号的卷积
  • 冲激函数是单位元 f(t)∗δ(t)=f(t)
  • 延迟的冲激函数是理想延迟器 f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0)
  • 阶跃函数是理想积分器 f(t)∗u(t)=∫t∞f(τ)dτ
  • 冲激偶函数是理想微分器 f(t)∗δ′(t)=f′(t)
• 卷积运算
  • 交换律
  • 结合律
  • 对加法的分配律
• 任意响应=激励和冲激响应的卷积=激励的微分和阶跃响应的卷积（ e(t) 和 h(t) 当 t→∞ 时都趋于0）
• 激励的微/积分和冲激响应的卷积是响应的微/积分

频响

在正弦波激励下的稳态响应。

1. 无右半平面极点；
2. 左半平面极点稳态响应为0

3. 所以响应还是正弦波

   频响的获得：

4. 极零点矢量法：

   应用方法，借助矢量，分别考察h(s)的幅频和相频响应。

   w在虚轴上取几个特殊值。

5. 三维图的方法：

   判断要点：1. 极点特征；2. 零点特征； 3. 确定|H(0)|和|H(\infty)|的趋势

全通函数

最小相移函数

任一个因果稳定都可以表示成全通系统和最小相位系统的级联。

失真

群时延：

不失真的系统的群时延是一个正常数。

理想滤波器

理想低通滤波器：不满足因果性，不可实现，不绝对可积，不稳定

理想带通滤波器：不满足因果性，不可实现，不绝对可积，不稳定

理想高通滤波器：不满足因果性，不可实现，不绝对可积，不稳定

四种类型

Butterworth, Chebshev, 椭圆

系统的物理可实现性：佩利-维纳准则（必要条件）、希尔伯特变换

Thanks to Chen Chen