二次型及其标準形

前置定理 1　設 為 階對稱矩陣，則必有正交矩陣 ，使 ，其中 是以 為

定義 1　含有 個變量

稱為 二次型。

當 時，取 ，則 ，于是 式可以寫成

定義 2　隻包含平方項的二次型，即

稱為二次型的 标準形（或 法式）。

定義 3　如果标準形的系數 隻在

則稱上式的二次型為 規範形。

當 為複數時， 稱為複二次型；當 為實數時，

利用矩陣，二次型 可表示為

記

則二次型可用矩陣記作

其中

是以，任給一個二次型，就唯一地确定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地确定一個二次型。這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應的關系。是以，我們把對稱矩陣 叫做二次型 的矩陣，也把 叫做對稱矩陣 的二次型。對稱矩陣 的秩就叫做二次型

定義 4　設 和 是 階矩陣，若有可逆矩陣 ，使 ，則稱矩陣 與 合同。

因為 ，而 可逆，進而 也可逆，是以 。

因為 ，是以

設有線性變換

記 ，于是上式 可以記作

代入 式得

于是要使二次型 經可逆變換 變成标準形，就是要使

也就是要使 成為對稱矩陣。于是，将二次型轉化為标準形的問題，就變成了：對于對局陳矩陣 ，求可逆矩陣 ，使 為對角矩陣。這個問題稱為把對稱矩陣

定理 1　任給二次型 ，總有正交變換 ，使

其中 是 的矩陣

證明　根據前值定理 1 顯然成立。

推論　任給 元二次型 ，總有可逆變換 ，使