對稱矩陣的對角化

首先讨論兩個關于對稱矩陣的特征值和特征向量的性質：

性質 1　對稱矩陣的特征值為實數。

證明見 “​​【證明】對稱矩陣的特征值為實數​​”。

顯然，當特征值 為實數時，齊次線性方程組

是實系數方程組，由

性質 2　設 是對稱矩陣 的兩個特征值， 是對應的特征向量。若 ，則 與

證明見 “​​【證明】實對稱矩陣特征向量正交​​”。

于是有定理：

定理 1　設 為 階對稱矩陣，則必有正交矩陣 ，使 ，其中 是以 為

證明　暫未給出。

根據定理 1，有推論如下：