文章目錄
- A 根軌迹法的基本概念
- B 閉環零極點與開環零極點的關系
- C 根軌迹方程
- C 繪制根軌迹的法則
- C.a 根軌迹法則介紹
- C.b 根軌迹法則（正常根軌迹）
- D 廣義根軌迹
- D.a 參數根軌迹
- D.a.a 開環零點變化時的根軌迹
- D.a.b 開環極點變化時的根軌迹
- D.b 附加開環零點的作用
- E 系統性能的分析
引言
閉環控制系統的穩定性和性能名額主要由閉環系統的極點在複數平面上的位置決定。
分析和設計系統時确定閉環極點（即特征根）在複平 面的位置是十分有意義的:
- 閉環系統的極點在複平面的位置決定了系統的穩 定性
- 系統的性能名額也主要由閉環極點的位置決定
通過求解高階代數方程确定閉環極點是困難的；
閉環系統的極點與系統的參數有關，如開環增益等；
希望找到一種不用求解代數方程，就能确定當某個參 數變化時極點的位置的方法
：
1948年伊文思（Walter R.Evans)提出了根軌迹法； 根軌迹方法能夠确定當某個參數變化時，閉環極點在 複數平面上移動的軌迹。
A 根軌迹法的基本概念
什麼是根軌迹
K從0變成0.5時,一個極點從0沿着實軸移動到-1點，另一個極點從-2沿着實軸移動到-1點。
K從0.5變為1時，極點一個向上移動1，另一個向下移動1。當K變為無窮大時，極點分别向上下移動到無窮。
圖中的紅線就是這個系統的根軌迹。
根軌迹定義：根軌迹是指當
系統開環的某個參 數（如開環增益）從零變化到無 窮大時
，
閉環
特征方程的
根
在複 平面上移動的軌迹。
根據所繪制的根軌迹圖可知該系統：
（1）穩定性：當開環增益從零變到無 窮時，上面圖中的根軌迹不會 越過虛軸進入右半s平面，因 此對所有的K值都是穩定的。
（2）動态性能
K>0時，兩個極點始終位于平面的左半平面，系統穩定；
0<K<0.5時，兩個極點位于實軸上，處于過阻尼狀态， 階躍響應為單調衰減過程；機關階躍響應為非周期過程；
K=0.5時，兩個極點相等，處于臨界阻尼狀态， 機關階躍響應 仍為非周期過程，階躍響應為單調衰減過程但響應速度較0＜K ＜0.5情況為快；
K>0.5時，兩個極點是共轭複根，處于欠阻尼狀态， 階躍響應為振蕩衰減過程。且超調量将随着K值增大而增大。
（3）穩态性能
開環系統在坐标原 點有一個極點，是以系 統屬I型系統，因而根 軌迹上的K值就是靜态 速度誤差系數。如果給 定系統的穩态誤差要求， 則由根軌迹圖可以确定 閉環極點位置的容許範 圍。
B 閉環零極點與開環零極點的關系
1、典型控制系統
閉環系統的特征方程：
2前向通路傳遞函數
在一般情況下，前向通路傳遞函數可表示為：
因式分解為首1形式
3 回報通路傳遞函數
在一般情況下，回報通路傳遞函數可表示為：
4 開環傳遞函數
5 閉環傳遞函數
将前向通路傳遞函數G(s)和回報通路傳遞函數 H(s)代入
6 開閉環零極點關系
（1）閉環系統根軌迹增益=開環系統前向通路根軌迹增益。
對機關回報()，閉環系統根軌迹增益=開環系統根軌迹益()。
（2）閉環零點由開環前向通路傳遞函數的零點和回報通路傳遞數的極點所組成。對機關回報統，閉環零點=開環零點。
（3）閉環極點與開環零點、開環極點以及根軌迹增益均有關(分母)
C 根軌迹方程
開環傳遞函數
其中，分别為開環零、極點。
為開環根軌迹增益，并假設
閉環系統特征方程：
由于閉環極點就是特征方程的根，該方程又稱為根軌迹方程。
1 系統閉環特征方程
由閉環傳函可得到系統閉環特征方程為：
通常寫成：
2 根軌迹方程
當系統有m個開環零點和n個開環極點時：
可分解為模值方程和相角方程：
z為零點；p為極點。
- 由于，是以任何複數s均滿足模值方程；
-
相角方程
充分必要條件
- 利用模值方程可确定根軌迹上某個點對應的K*值。
如何利用相方程确定某一個點是否屬于根軌迹的點以及所對應的根軌迹增益的值：
s1代入得到s2代入得到都滿足相方程，故s1、s2這兩點都是根軌迹上的點。
再有模值方程求出對應的根軌迹增益。
上述的方法是使用試錯的方法驗證某個點是否在根軌迹上。如果要求出K在連續變化時所有根軌迹上的點是比較麻煩的。是以需要一些法則來幫助。
C 繪制根軌迹的法則
C.a 根軌迹法則介紹
1、首先讨論負回報系統在開環增益 或根軌迹增益 變 化時的根軌迹的繪制法則，又稱正常根軌迹的繪制法則;
2、當其他參數變化時，隻要适當變換，正常根軌迹的法 則仍然可用；
3、雖然用這些法則繪制的根軌迹不夠精确，但基本可以 滿足工程上的應用；
4、若需要更精确的根軌迹可以利用相方程，對根軌迹進 行修正，或利用計算機繪制根軌迹圖。
C.b 根軌迹法則（正常根軌迹）
- 開環傳遞函數
【自控原理】第四章 根軌迹法 式中分别是開環零點、極點；為開環根軌迹增益，且。
閉環特征方程：
【自控原理】第四章 根軌迹法
閉環極點與根軌迹增益 、開環零點和極點有關。
1 根軌迹的分支數等于特征方程的階數
當開環根軌迹增益變化時，共有n個極點在複平面上移動， 共形成n條軌迹。是以，根軌迹的分支數等于開環極點的個數。
2. 根軌迹是連續的且對稱于實軸
在開環零、極點确定的情況下，閉環特征根是開環根軌迹 增益的連續函數。由于特征方程的系數是實數，是以特征根或 是實數，或是共轭複數，即根軌迹對稱于實軸。
3. 根軌迹起始于開環極點，終止于有限的開環零點或無窮遠處。
所謂根軌迹的起點和終點，是分别指當等于零和無窮 大時根軌迹的位置。
(1) 根軌迹的起點
閉環特征方程
當時，
即當根軌迹增益為零時，開環極點就是閉環極點，是以，根軌迹 起始于開環極點
。
(2) 根軌迹的終點
令，得到等價方程：
當時，等價方程為：
有n-m個根等于0，m個根等于
上述等價方程的根對應于
根軌迹終止于有限的開環零點（
有限零點
）或無窮遠處（
無限零點
），其中
無窮遠處終點個數為極點個數-零點個數
。
4. 實軸上的根軌迹
設系統有n個開環極點和m個開環零點（分布對稱于實軸的）。
将實軸上某點s1代入相方程，得
m1 — 點 s1 右側實軸上零點的個數
n1 — 點 s1 右側實軸上極點的個數。
若 為
奇數，則點 s1 是根軌迹上的點
實軸上某一區域，若其右邊開環實軸零、極點的個數之和 為奇數，則該區域必是根軌迹
。
右邊有兩個極點一個零點；右邊隻有一個極點。
由法則一，根軌迹起始于開環極點。終止于有限的開環
零點或無窮遠
。得到根軌迹如圖紅箭頭。
5. 根軌迹的分離點（或會合點）坐标
做題時使用試探法求解。
兩條或兩條以上的根軌迹在s平面上
相遇又立即分離的點
稱 為根軌迹的分離點（或彙合點）。
閉環特征多項式：
若兩條或兩條以上的根軌迹在複平面上某個點d處相遇，則點d 為特征多項式的一個重根
。即滿足
由此可得分離點（或彙合點）的必要條件為
系統有兩個極點就有兩個根軌迹，一個從0出發，一個從-2出發，在d1點彙合，然後分别進入複平面，又在d2點彙合，然後再分開，一個趨于-3，一個趨于負無窮。
6. 根軌迹的漸近線
若開環極點數n大于開環零點數m，則當 趨于無窮大時，将
有 n-m 條根軌迹趨于無窮遠處。可以證明這n-m條趨于無窮遠的軌迹将趨近于n-m條直線，這些直線稱為根軌迹的漸近線
。
漸近線與正實軸的夾角為 :
漸近線與實軸的交點橫坐标為
開環極點；開環零點。
7根軌迹的起始角和終止角
起始角：根軌迹
離開開環極點
處的切線與正實軸的夾角。
終止角：根軌迹
進入開環零點
處的切線與正實軸的夾角。
8分離角與會合角
設n階系統在根軌迹增益時，有l個閉環重極點，即，其餘個閉環極點為
彙合角 ：
根軌迹進入彙合點處的切線與實軸正方向的夾角
分離角 ：
根軌迹離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角
。
将以上計算公式歸納為如下便于記憶的法則：
若有 條根軌迹進入 點，必有條根軌迹離開點； 條進 入 點的根軌迹與 條離開 點的根軌迹相間隔(
如圖1為進2為出，進出互相間隔
)；任一條進入 點的根軌迹與相鄰的離開 點的根軌迹方向之間的夾角為
9. 根軌迹與虛軸的交點坐标
若根軌迹與虛軸相交，交點對應的根軌迹增益和角頻率可用勞斯判據或令閉環特征方程中的 (虛軸上實部為零), 然後 分别令實部和虛部為零求得交點和對應的值。
為根軌迹的起點,為終點，超過6則到了右半平面，不穩定。
實際上若根軌迹與虛軸相交，則表示閉環系統存在純虛根，這意味着該數值使閉環系統處于臨界穩定狀态。
10. 根之和與根之積
當系統的開環傳遞函數分母和分子的次數滿足，則系統開環極點之和總是等于系統閉環特征根之和。
在開環極點确定的情況下，這是一個不變的常數。 是以，當開環增益K 增大時，
若閉環某些根在S平 面上向左移動，則另一部分根必向右移動
，如一個根在（0，0）一個根在（-2，0），若（0,0)變化為（-0.1,0），則(-2,0)也就會變化為（-1.9，0）。
從-3是向左則從0就得向右。
D 廣義根軌迹
廣義根軌迹是指根軌迹參數
除了開環增益之外的 所有根軌迹
。通常，将負回報系統中K*變化時 的根軌迹叫做正常根軌迹。
D.a 參數根軌迹
對閉環特征方程
進行等效變換，将其寫為如下形式：
其中， 為除外系統任意的變化參數。
D.a.a 開環零點變化時的根軌迹
（1）兩個系統的閉環特征方程相同；
（2）原系統開環零點是 ，而是等效系統的開環增益；
（3）
等效系統開環增益變化的根軌迹，就是原系統開環零點變化的根軌迹
。
D.a.b 開環極點變化時的根軌迹
D.b 附加開環零點的作用
在控制系統設計中，常用附加位置适當的開環零點的方 法來改善系統性能。
1、對系統穩定性的改善
設系統開環傳遞函數為:
式中Z1為附加的開環實數零點。取z1 為不同值時，根軌 迹如下：
| | |
| | |
分析：由圖可見，當開環極點位置不變，而
在系 統中附加開環負實數零點
時，将
使系統的根 軌迹圖發生趨向附加零點方向的變形
，而且
這種影響将随開環零點接近坐标原點的程度 而加強
。如果附加的開環零點不是負實數零 點，而是具有
負實部的共轭零點
，那麼它們的
作用與負實數零點的作用完全相同
。
2、對系統動态性能的改善
當根軌迹增益為時， 複數極點S1 和S2 為閉 環主導極點，
實數極點 S3距虛軸較遠，為非 主導極點
。在這種情況 下，
閉環系統近似為一 個二階系統
，具有良好 的動态性能。
在圖中，實數極點為閉環主導極點，此
時系 統等價于一階系統
，其動 态過程雖然可能單調， 但卻具有較慢的響應速度 和較長的調節時間。也就 是說，此時穩态性能優于時，但動态性能 卻變差了。
結論： 隻有當附加零點相對原有系統開環極點的位置 選配适當，才有可能使系統的穩定性和動态性能同 時得到明顯的改善。
E 系統性能的分析
1、穩定性
如果閉環極點全部位于s左半平面，則系統一定是 穩定的，即穩定隻與閉環極點位置有關，而與閉環 零點位置無關。
2、運動形式
如果閉環系統無零點，且閉環極點均為實數極 點，則時間響應一定是單調的； 如果閉環極點均為複數極點，則時間響應一般是 振蕩的。
3、超調量
超調量主要取決于閉環複數主導極點的衰減率 ，并與其它閉環零、極點接 近坐标原點的程度有關。
4、調節時間
調節時間主要取決于最靠近虛軸的閉環複數 極點的實數絕對值 ，如果實數極點距虛 軸最近，并且它附近沒有實數零點，則調節時間 主要取決于該實數極點的模值。
5、實數零、極點影響。
零點減小系統阻尼，使峰值時間提前，超調量 增大；極點增加系統阻尼，使峰值時間滞後，超調 量減小。它們的作用，随着其本身接近坐标原點的 程度而加強。
6、偶極子及其處理
如果零、極點之間的距離比它們本身模值小 一個數量級，則它們就構成了偶極子。遠離原點 的偶極子，其影響可略；接近原點的偶極子，其 影響必須考慮。