概要:
在 積分概念 中，将 積分區間為 數軸上 一個區間的情形，稱為： 積分 ，實體意義為 面積；
在 積分概念中， 将 積分區間 為 平面内 閉區域 的情形，稱為： 二重積分， 實體意義為 體積；
在 積分概念中， 将 積分區間 為 空間内閉區域 的情形， 稱為： 三重積分， 實體意義為 品質；
在 積分概念中， 将 積分區間 為 一段 曲線， 稱為： 曲線積分(線的品質 或 變力沿有向曲線所作的功) ；
對弧長 的曲線積分
1.形式定義：
平面直線：
，其中，s 代表長度； 空間直線：
平滑曲線L = L1+L2：
閉曲線：
2.重要性質:
1.若 f <= g, 則 對曲線L的 f 積分 <= 對曲線L 的 g積分； 即：
2.
3.計算方法：
了解： 将弧線 x，y 用參數方程表示，（與 密度 本來是無關的，但是通過參數方程聯系起來了。 ）
此時 線長度 可表示為：
, 趨勢的平方和開方，目的是與 參數的微分 聯系起來考慮問題。
同理， 空間曲線積分計算方法：
對 坐标的 曲線積分：
1.形式定義:
對 平面曲線 坐标x 的 曲線積分：
對 平面曲線 坐标y 的 曲線積分：
對 空間曲線 坐标x,y,z類似于 分别為：P,Q,R ， 形如：
合并形式:
平面曲線的 向量形式：
,其中，F(x,y) =P(x,y)i + Q(x,y)j , dr = dx i+ dy j;
空間曲線的 向量形式 類似；
2.重要性質：
光滑有向曲線L= L1+L2：
L- 是 L 的反向 曲線弧，則：
3.計算方法：
空間曲線 同理； 注意，α 不一定小于 β.
了解： 多個變力 在 每個 次元的 偏轉分量和，最終的機關 為 ： 功(焦耳)。
兩類曲線之間的聯系：
其中， α，β 代表 有向曲線弧 L 在 點處 的切向量的方向角。
有向曲線弧的切向量： 指向 與 有向曲線弧 的方向一緻 的切向量；
有向曲線元： dr；
格林公式及其應用：
1.概要：
牛頓-萊布尼茲公式，表示 一重積分 F'(x) 在區間 [a,b] 上的積分，可以通過 它的原函數 F(x) 在這個區間上的值 來表達；
格林公式 表示： 二重積分 在 平面閉區域 D 的值，可以通過 沿閉區域 D 的邊界曲線 L 上的曲線積分 來表達；
2. 單連通區域： D為平面區域，在該平面區域内，任一閉曲線所謂的區域都屬于D，稱為單連通區域；（通俗來說，就是該區域不包含洞）。 否則 ，稱為 複連同區域。
邊界曲線L的正向： 當觀察者 沿L 的這個方向行走時，D内 在他近處的那一部分 總在他的左邊。（注意，這裡的他 ，指代觀察者相對于運動方向的定位。 是以，複連通區域中，内環線為順時針，外環線為逆時針。）
3.形式定義：
,其中，D 由分段光滑的曲線L 圍成，L 是 D取正向的邊界曲線；
4.應用： 可考慮構造 P,Q，簡化 二重積分的運算。
平面上曲線積分與路徑無關的條件：
1.概要： 實體力學中，研究 勢場，就是要研究 場力 所作的功 與 路徑無關的情形。 類似的，什麼條件下場力 所作的功 與 路徑無關？ 折射到數學上 就是要研究 曲線積分 與路徑無關的條件。
2.形式定義：
平面閉區域G，任意兩點A,B， 從A 到 B 的任意 兩條曲線 L1，L2:
若：
恒成立， 就稱為： 曲線積分
在G内 與路徑無關，否則 稱為 與路徑有關； 等價于：
，描述為： 曲線積分
在 G 内 與 路徑無關，相當于 沿G内 任意閉曲線C 的曲線積分 等于零。
3.充要條件：
曲線積分 在G 内 與路徑無關的充要條件是:
在G内恒成立(G為單連通區域)；
4.奇點：
區域内，含有破環函數 ： P,Q,P'x,Q'y 函數 連續性條件的點，稱為 奇點。
二進制函數的全微分求積：
1.概要： 讨論，P，Q滿足什麼條件時，表達時 Pdx +Qdy 才是 某個 二進制函數u 的 全微分；
2.充要條件：
滿足上訴概要的充要條件是：
在G内恒成立(G為單連通區域)；
3.推論：
單連通區域G 内，在G内的曲線積分與路徑無關的充要條件(2,)是：
在G 内 存在函數 u(x,y) = Pdx + Qdy.
4.全微分方程：
如果一個微分方程寫成： P(x,y)dx +Q(x,y)dy=0的形式後，它的左端恰好 是某一個函數 u(x,y)的全微分，即：
d u(x,y) = P(x,y)dx+ Q(x,y)dy， 稱為 全微分方程。
5.全微分方程的通解：
,其中，C 為常數。
曲線積分的基本定理：
1.概要：若曲線積分
在 區域G 内，與積分路徑無關， 稱 向量場 F 為保守場。
2.形式定義：