三個小夥子決鬥的問題

問題：

三個小夥子同時愛上了一個姑娘，為了決定他們誰能娶這個姑娘，他們決定用手槍進行一次決鬥。A的命中率是30％，B比他好些，命中率是50％，最出色的槍手是C，他從不失誤，命中率是100％。為公平起見，他們決定按這樣的順序：A先開槍，B第二，C最後。然後這樣循環，直到他們隻剩下一個人。那麼這三個人中誰活下來的機會最大呢？他們都應該采取什麼樣的政策？

分析：

1）A、B要是一直不能命中C，隻要兩輪，他們兩個都死；A要想活，就要至少争取輪不到C開第二槍；

2）第一輪結束的時候，A和B為了自保肯定先針對C，是以不是B死就是C死，A很有可能活着；但是A肯定希望活着的是B，B能活說明A或者B第一槍已經命中C，因為如果A跟B都沒殺死C，C肯定先殺死B。是以原則上A會幫着B打C；

3）不過A考慮萬一他第一槍把C打死了，B下一個開槍，肯定對象是他；即使B第一槍打不中他，輪到A開第二槍，而以A自己30%的命中率，不大可能連續兩槍都命中的，是以這一槍很可能失誤，下一次輪到B的時候，第二槍幹掉他的可能性很大。

總結：

為了争取最大的生存可能，A希望第一輪C倒下，但并不是他開的槍，是以第一槍很可能會考慮放棄，這樣雖然坑了B，但是增大了自己的生存機會，是弱者為求自保不去招惹強者的做法。

詳細讨論：

先考慮雙人決鬥

a）AB決鬥：

A存活的幾率：Na=30%+(70%x50%x30%)+(70%x50%x70%x50%x30%)+...=30%x(1+a+a^2+...) =30%x1/(1-35%)=30%/65%≈0.462

B存活的幾率：

Nb≈0.538

b）AC決鬥

Na=30%

Nc=70%

c)BC決鬥

Nb=50%

Nc=50%

分情況解答：

情況一：

如果A第一槍打C

A活的可能性組合：

1）A槍殺C，B失誤未殺死A，AB決鬥最終A活的幾率：30%x50%x30%/65%≈0.069

2）A未殺掉C，B殺了C，AB決鬥最終A活的幾率：70%x50%x30%/65%≈0.162

3）AB均未殺掉C，C殺了B，AC決鬥A活的幾率：70%x50%x30%=0.105

Na≈0.336

B活的可能性組合：

1)A槍殺C，B殺死A: 30%x50%=0.15

2)A槍殺C，B失誤未殺死A，AB決鬥B活的幾率：30%x50%x35%/65%≈0.081

3)A失誤未殺掉C，B殺了C，AB決鬥B活的幾率：70%x50%x35%/65%≈0.188

Nb≈0.419

C活的可能性：AB均失誤，C殺B，AC決鬥C活的幾率: Nc=70%x50%x70%=0.245

如果A第一槍打C，B生存的機會最大

情況二：

如果A第一槍放棄

A存活的可能性組合：

1）B殺了C，AB決鬥最終A活的幾率：50%x30%/65%≈0.231

2）B未殺掉C，C殺了B，AC決鬥A活的幾率：50%x30%=0.15

Na≈0.381

B活的可能性：B殺掉C，AB決鬥B活的幾率：Nb=50%x35%/65%≈0.269

C活的可能性：B失誤未殺掉C，C殺B，AC決鬥C活的幾率: Nc=50%x70%=0.35

綜上：

如果A第一槍放空槍，A生存的機會最大，而且存活機率大于選擇第一槍打C的的存活機率。

結論：

如果A第一槍放空槍，A的生存機會會最大；如果選擇第一槍幫B打C，則B的生存機會最大。