本篇将解決Black Scholes公式的求解方法。在上一篇文章
呦呦Ruming：From Brownian Motion to Stochastic Integralzhuanlan.zhihu.com
中我們介紹了布朗運動與伊藤公式，通過這些數學公式我們将推導Black-Scholes估值公式。
Part 1. 利用資産組合對沖期權
在此部分我們将通過偏微分方程的方法來求解BS公式，這種方法的核心思想與之前離散情況下二叉樹模型是類似的，即構造一個資産組合使得到期時能夠完全對沖期權的風險，再通過資産組合的價格來對期權進行定價。（對沖政策的構造，可見
呦呦Ruming：美式期權的對沖zhuanlan.zhihu.com
def 1.1 （廣義幾何布朗運動）假設有W(t)，
，是一個布朗運動，
是其對應的域流，假設
是适應的随機過程，定義一個Ito過程X(t)，其滿足：
容易知道
假設一個資産的價格過程如下：
利用Ito公式我們可以得到其微分形式：
我們發現S(t)由于是一個指數函數，是以永遠大于0，連續無跳躍，是由單個布朗運動生成的。特别地，如果
是常數，我們便得到了通常的幾何布朗運動，其機率分布我們也稱為對數正态分布。
接着我們來構造資産組合，資産組合分為兩塊，一塊是以無風險利率(r)投資貨币市場，一塊是投資于股票市場。我們假設股票價格滿足幾何布朗運動。假設在時刻t投資者持有股票的份額為
且是一個布朗運動W(t)域流下
适應的随機過程，餘下的部分
則投資于貨币市場，我們很容易有：
以上三項可做如下了解
(1)資産組合平均的最低收益率r
(2)投資于股票的風險溢價
(3)正比于股票投資份額的波動率項
現在我們考慮貼現股價
以及貼現資産組合價值
，利用伊藤公式：
我們發現一個小結論，即貼現資産組合的價值的改變完全由貼現股價的改變而引起。
part 2. 構造期權價值的偏微分方程
假設期權的價值為c(t,S(t))，利用伊藤公式我們容易得到：
在此基礎得到:
聯系開篇所提到的期權對沖的原理，一個可以完全對沖的期權的價值應當滿足：
我們容易得到等式
再結合歐式看漲期權的條件
自然地我們能對這個偏微分方程進行求解，同時在求解以上等式的時候我們可以得到一個小結論：
。在解得微分方程後，我們可以利用這個結論反過來确定我們的對沖資産組合的構成。這便是我們求解期權價值的第一種辦法，PDE方法。
的确，解PDE的方法直覺且有效，本質上與我們在離散情況CRR模型或二叉樹模型中構造對沖資産組合，并依照其價值進行期權定價的方法并沒有什麼差別，隻是離散下的模型股票價格并沒有包含布朗運動沒有那麼複雜罷了，但實際上在多叉樹的情況下就近似于PDE方法了。
我們接下來的問題是，我們能否在以完全對沖複制期權的思路上，模仿二叉樹模型中的測度變換技巧，将其轉變為風險中性測度下的條件期望問題？（二叉樹下風險中性機率，風險中性測度下的各種鞅過程，可見
呦呦Ruming：單步二叉樹期權定價與風險中性機率zhuanlan.zhihu.com
呦呦Ruming：鞅，條件期望與二叉樹模型的關聯（二）zhuanlan.zhihu.com
不過仍需要在此強調的一點是，風險中性求價值的方法僅僅隻是一種數學技巧，原理仍然是利用完全對沖來複制期權。
Part 3. Girsanov Theorem下的測度變換
定理及證明可參考http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/390/Lecture10.pdf（概要包括布朗運動，鞅，随機積分，條件期望，列維定理，随機變量測度變化，随機過程測度變換等）
簡單來說Girsanov定理是一種很重要測度變換工具，假設已知W(t)是測度
下的布朗運動，通過該定理，我們能夠找到一種新的測度
使得
在該測度下是布朗運動。
利用之前我們得到的結論：
令
，利用Gisanov定理我們可以找到測度
使得
是一個布朗運動，且
。
自然地
是一個随機微分，是以他是
下的一個鞅。
類似地
也是一個鞅。
聯系離散情況下的風險中性測度的定義，我們容易知道這樣的測度
正是我們所需要的風險中性測度。
剩下的無非就是在連續情況下求解條件期望的過程：
事實上，對于簡單的歐式看漲期權，我們正是利用此方法得到BS公式的，其公式為：
其過程無非是利用測度變換後的
仍滿足正态分布進行證明的，可參考（ http://www. maths.usyd.edu.au/u/UG/ SM/MATH3075/r/Slides_8_Black_Scholes_Model.pdf Theorem 8.1)
那麼我們有一個問題，這兩種方法得到的結果是否會有沖突呢？答案是兩者是統一的，證明方法便是Feynman Kac定理所闡述的。該新測度下的條件期望會是我們之前構造的PDE的一個解。