測度論與機率論基礎學習筆記3——2.1測度的定義與性質

定義1

設 E \mathscr E E是 X X X上的集合系且 ∅ ∈ E \emptyset \in \mathscr E ∅∈E，若 E \mathscr E E上的非負集函數(取值大于等于0的函數) μ \mu μ具有可列可加性，并滿足 μ ( ∅ ) = 0 \mu(\emptyset)=0 μ(∅)=0,則稱之為 E \mathscr E E上的測度。

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有限性、可減性：

若對集合系中的每個集合，其函數值都有限，則稱測度 μ \mu μ有限。若對每個 A ∈ E A\in \mathscr E A∈E都有滿足 μ ( A n ) < ∞ \mu(A_n)<\infty μ(An​)<∞集合列 { A n ∈ E } \{A_n \in \mathscr E\} {An​∈E}滿足可列并包含集合A( ∪ n = 1 ∞ A n ⊃ A \cup_{n=1}^\infty A_n\supset A ∪n=1∞​An​⊃A)，則稱則稱測度 μ    σ \mu \space \space \sigma μ  σ有限。

如果對任何 A , B ∈ E , A ⊂ B , B \ A ∈ E A,B\in \mathscr E,A\subset B ,B\backslash A \in \mathscr E A,B∈E,A⊂B,B\A∈E，隻要 μ ( A ) < ∞ \mu (A)<\infty μ(A)<∞，有

μ ( B \ A ) = μ ( B ) − μ ( A ) \mu(B \backslash A)=\mu(B)-\mu(A) μ(B\A)=μ(B)−μ(A)

則稱 μ \mu μ具有可減性。

命題1

測度具有有限可加性與可減性。

(想象面積的運算，或者機率的運算)

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定義2 點測度

定義 δ x ( A ) = I A ( x ) \delta_x(A)=I_A(x) δx​(A)=IA​(x).

其中I是訓示函數。若 x 1 , … , x n ∈ X x_1,\dots ,x_n\in X x1​,…,xn​∈X，定義

μ ( A ) = ∑ i = 1 n δ x i ( A ) \mu(A)=\sum_{i=1}^{n}\delta_{x_i}(A) μ(A)=i=1∑n​δxi​​(A)此即點測度。

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命題2

設 X = R X=\mathbf R X=R, E \mathscr E E是由左開右閉區間組成的半環， F F F是非降、右連續、實值函數，定義

μ ( ( a , b ] ) = [ F ( b ) − F ( a ) ] u ( b − a ) \mu((a,b])=[F(b)-F(a)]u(b-a) μ((a,b])=[F(b)−F(a)]u(b−a)

(不會打分段函數… u ( x ) u(x) u(x)就是 x ≥ 0 x\ge0 x≥0時為1)

則 μ \mu μ就是一個 E \mathscr E E上的測度。

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一堆概念

空間 X X X，加上由它的子集形成的一個 σ \sigma σ域 F \mathscr F F，再加上上的一個測度 μ μ μ，形成的三元組 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)稱為測度空間.如果 N ∈ F N\in\mathscr F N∈F而且 μ ( N ) = 0 \mu(N)=0 μ(N)=0,則稱 N N N為 μ \mu μ的零測集.

如果測度空間 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)滿足 P ( X ) = 1 P(X)=1 P(X)=1，則稱它為機率空間，對應的 P P P叫做機率測度.在機率空間 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)中， F \mathscr F F中的集合 A A A又稱為事件，而 P ( A ) P(A) P(A)稱為事件 A A A發生的機率.

(這裡想到上學期随機信号開頭講的機率空間的概念，當時講的F是事件空間，其實就是一個X上的 σ \sigma σ域。在這裡取其所有子集的集合，是具有實際意義的。)

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半環上測度的性質

在一般的 σ \sigma σ域上建立測度則要複雜得多，通常使用的辦法是把半環上的測度擴張到由它生成的 σ \sigma σ域上去。為給半環上測度的擴張作必要的準備，需要先讨論半環上非負集函數的性質。

1. 單調性：

   對 ∀ A ⊂ B : μ ( A ) < μ ( B ) \forall A\subset B:\mu(A)<\mu(B) ∀A⊂B:μ(A)<μ(B)

2. 半可列可加性：

   之前說的可列可加性是對于兩兩不交的集合而言，而對于任意可列個集合，隻要 ∪ n A n ∈ E \cup_{n}A_n \in \mathscr E ∪n​An​∈E,就一定有： μ ( ∪ n A n ) ≤ ∑ n μ ( A n ) \mu(\cup_{n}A_n)\le\sum_{n}\mu(A_n) μ(∪n​An​)≤∑n​μ(An​)

   （該性質也可直覺地通過幾何來了解，例如兩個相交的圖形，其構成的總面積肯定小于等于各自面積之和）

3. 下連續與上連續

   若集合列 A n ↑ A_n \uparrow An​↑且收斂到 A A A,均有：

   μ ( A ) = lim ⁡ n → ∞ μ ( A n ) \mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n) μ(A)=limn→∞​μ(An​)

   則稱具有下連續性。

   同理，若集合列 A n ↓ A_n \downarrow An​↓且收斂到 A A A,均有上式成立，則上連續。

定理3

半環上的測度具有單調性，可減性，半可列可加性，下連續性和上連續性.

定理4

對環上的有限可加非負集函數 μ \mu μ,有

μ 可 列 可 加 ⇔ μ 半 可 列 可 加 ⇔ μ 下 連 續 ⇒ μ 上 連 續 \mu可列可加\\ \Leftrightarrow \mu半可列可加\\ \Leftrightarrow \mu下連續\\ \Rightarrow \mu上連續 μ可列可加⇔μ半可列可加⇔μ下連續⇒μ上連續