测度论与概率论基础学习笔记3——2.1测度的定义与性质

定义1

设 E \mathscr E E是 X X X上的集合系且 ∅ ∈ E \emptyset \in \mathscr E ∅∈E，若 E \mathscr E E上的非负集函数(取值大于等于0的函数) μ \mu μ具有可列可加性，并满足 μ ( ∅ ) = 0 \mu(\emptyset)=0 μ(∅)=0,则称之为 E \mathscr E E上的测度。

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有限性、可减性：

若对集合系中的每个集合，其函数值都有限，则称测度 μ \mu μ有限。若对每个 A ∈ E A\in \mathscr E A∈E都有满足 μ ( A n ) < ∞ \mu(A_n)<\infty μ(An​)<∞集合列 { A n ∈ E } \{A_n \in \mathscr E\} {An​∈E}满足可列并包含集合A( ∪ n = 1 ∞ A n ⊃ A \cup_{n=1}^\infty A_n\supset A ∪n=1∞​An​⊃A)，则称则称测度 μ    σ \mu \space \space \sigma μ  σ有限。

如果对任何 A , B ∈ E , A ⊂ B , B \ A ∈ E A,B\in \mathscr E,A\subset B ,B\backslash A \in \mathscr E A,B∈E,A⊂B,B\A∈E，只要 μ ( A ) < ∞ \mu (A)<\infty μ(A)<∞，有

μ ( B \ A ) = μ ( B ) − μ ( A ) \mu(B \backslash A)=\mu(B)-\mu(A) μ(B\A)=μ(B)−μ(A)

则称 μ \mu μ具有可减性。

命题1

测度具有有限可加性与可减性。

(想象面积的运算，或者概率的运算)

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定义2 点测度

定义 δ x ( A ) = I A ( x ) \delta_x(A)=I_A(x) δx​(A)=IA​(x).

其中I是指示函数。若 x 1 , … , x n ∈ X x_1,\dots ,x_n\in X x1​,…,xn​∈X，定义

μ ( A ) = ∑ i = 1 n δ x i ( A ) \mu(A)=\sum_{i=1}^{n}\delta_{x_i}(A) μ(A)=i=1∑n​δxi​​(A)此即点测度。

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命题2

设 X = R X=\mathbf R X=R, E \mathscr E E是由左开右闭区间组成的半环， F F F是非降、右连续、实值函数，定义

μ ( ( a , b ] ) = [ F ( b ) − F ( a ) ] u ( b − a ) \mu((a,b])=[F(b)-F(a)]u(b-a) μ((a,b])=[F(b)−F(a)]u(b−a)

(不会打分段函数… u ( x ) u(x) u(x)就是 x ≥ 0 x\ge0 x≥0时为1)

则 μ \mu μ就是一个 E \mathscr E E上的测度。

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一堆概念

空间 X X X，加上由它的子集形成的一个 σ \sigma σ域 F \mathscr F F，再加上上的一个测度 μ μ μ，形成的三元组 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)称为测度空间.如果 N ∈ F N\in\mathscr F N∈F而且 μ ( N ) = 0 \mu(N)=0 μ(N)=0,则称 N N N为 μ \mu μ的零测集.

如果测度空间 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)满足 P ( X ) = 1 P(X)=1 P(X)=1，则称它为概率空间，对应的 P P P叫做概率测度.在概率空间 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)中， F \mathscr F F中的集合 A A A又称为事件，而 P ( A ) P(A) P(A)称为事件 A A A发生的概率.

(这里想到上学期随机信号开头讲的概率空间的概念，当时讲的F是事件空间，其实就是一个X上的 σ \sigma σ域。在这里取其所有子集的集合，是具有实际意义的。)

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半环上测度的性质

在一般的 σ \sigma σ域上建立测度则要复杂得多，通常使用的办法是把半环上的测度扩张到由它生成的 σ \sigma σ域上去。为给半环上测度的扩张作必要的准备，需要先讨论半环上非负集函数的性质。

1. 单调性：

   对 ∀ A ⊂ B : μ ( A ) < μ ( B ) \forall A\subset B:\mu(A)<\mu(B) ∀A⊂B:μ(A)<μ(B)

2. 半可列可加性：

   之前说的可列可加性是对于两两不交的集合而言，而对于任意可列个集合，只要 ∪ n A n ∈ E \cup_{n}A_n \in \mathscr E ∪n​An​∈E,就一定有： μ ( ∪ n A n ) ≤ ∑ n μ ( A n ) \mu(\cup_{n}A_n)\le\sum_{n}\mu(A_n) μ(∪n​An​)≤∑n​μ(An​)

   （该性质也可直观地通过几何来理解，例如两个相交的图形，其构成的总面积肯定小于等于各自面积之和）

3. 下连续与上连续

   若集合列 A n ↑ A_n \uparrow An​↑且收敛到 A A A,均有：

   μ ( A ) = lim ⁡ n → ∞ μ ( A n ) \mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(A_n) μ(A)=limn→∞​μ(An​)

   则称具有下连续性。

   同理，若集合列 A n ↓ A_n \downarrow An​↓且收敛到 A A A,均有上式成立，则上连续。

定理3

半环上的测度具有单调性，可减性，半可列可加性，下连续性和上连续性.

定理4

对环上的有限可加非负集函数 μ \mu μ,有

μ 可 列 可 加 ⇔ μ 半 可 列 可 加 ⇔ μ 下 连 续 ⇒ μ 上 连 续 \mu可列可加\\ \Leftrightarrow \mu半可列可加\\ \Leftrightarrow \mu下连续\\ \Rightarrow \mu上连续 μ可列可加⇔μ半可列可加⇔μ下连续⇒μ上连续