測度定義_初學“依測度收斂”需填的坑，我在這裡巨啰嗦地填一遍。（心血之作抑或腦殘之作？）...

“簡潔”抑或“自然”這其實是一個選擇。周民強的《實變函數論》選擇了“簡潔”，而我在這裡則選擇“自然”地陳述。“簡潔”的東西是經過刻意雕琢的，甚至把很多思考都留白了，但是故事的脈絡會比較清晰，而我在這裡選擇“自然”地陳述，意思就是用最自然而然的方式去陳述這個新生問題，這樣子的做法，是嚴謹細緻且自然的（啰嗦的），但是不太容易做到簡潔，甚至有時候會讓人陷入細節中而丢失大局觀。是以我的建議是，第一遍讀原書為主，第二遍可以參照我在這裡的寫作，做一些嚴謹細緻地了解，把原書上的留白都補上，第三遍再化繁為簡回到原書本身，再次回看原書時，你就有确切地“千言萬語皆心領神會”的感覺了。

另外，有一個學長給我說過，嚴謹啰嗦地把細節都呈現出來未必是最好的學習方式，甚至是極不友好的的方式，但是我在這裡一直覺得，我們應該從“簡潔入手”，然後去繁雜的細節世界裡非常吃力地曆練，然後再“化繁為簡”，我覺得一直在簡潔中害怕繁瑣而得的簡潔，與化繁而來的簡，本身就是兩種境界，後者才叫做“絕知此事”，而前者就像做學問中的懦夫。本文就着眼于繁的部分，讓人在啰嗦中開始暴躁，然後慢慢變得有秩序，然後就心領神會了，看原書的時候自然有一種一切皆在不言中的意思了。

對于看到本文的老師學長們，我懇請你們指點文中的不足和錯誤；對于看到本文的同學們，我希望我的呈現能夠幫助到你們。如果有很多同學喜歡本文這種風格的notes的話，我會持續寫作。歡迎大家在評論區以及私信和我交流，共同學習，共同成長！

一切“困難”的開端是，可測函數是“廣義實數值”函數，也就是我們認為

是合法的，注意在這裡

是一個值，而不是“無窮大量”（不是極限過程

）。當我們把數域從

擴充到

，我們自然可以定義

的順序、加減法以及乘法。但是我們特别強調類似

是沒有意義的，但是這裡我們不能用數學分析裡“極限過程”的觀點去解釋這個式子是無意義的，也就是這裡其實并不是數學分析裡的“無窮大量”的經典未定式，究其原因在于在這裡

是一個值，而不是極限過程！正确地說明

無意義的方法是，如果其有意義，那麼

，則

，即發現沖突。

正因為可測函數是廣義值函數，是以在研究其性質的時候，要特别注意一些特殊的問題。下面舉一個例子。

定理1 若

是

上的可測函數，則下列函數都是

上的可測函數：

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

證明

我們要特别注意到

是廣義值函數。(i)的證明比較直白，可以照搬原書上的證明故不贅述。我們重點關注(ii)的證明。

首先，能寫出

這個式子，就說明它滿足“被良好定義”這個前提，也就是不存在在某個

，

或

。這裡的邏輯确實有一些繞，平時我們習慣說因為

是良好定義的，是以我們寫出

，而這裡的邏輯是既然我們寫出了

，那麼它一定滿足良好定義的前提。類似的邏輯會在接下來的論述中反複出現，我們給這種特别的邏輯一個名字叫做“

反演邏輯

”。（注意，原書上并沒有顯式地給出“反演邏輯”或類似其的專有名詞，但我為了強調這種特别的邏輯會在後續反複使用，也為了後續行文的友善，就“生造”了這麼一個詞。）

好了到這裡，我們知道了通過反演邏輯，我們認為

也是一個合法的廣義值函數，那麼怎麼證明它是可測函數呢？這裡會用到一個後續反複使用的技巧，把無窮值點集合先摳掉，然後看需要再裝回去，我們給這種特别的技巧一個名字叫做“

摳裝技巧

”（注意，原書上并沒有顯式地給出“摳裝技巧”或類似的專有名詞，但我為了強調這種技巧它存在且被反複使用，也為了後續行文友善，就“生造”了這麼一個詞）。下面我們開始講本問題具體怎麼“摳裝”了。

在

上是實值函數，在

取正負無窮，

在

上是實值函數，在

取正負無窮，原書上已給出

在

上是可測函數的證明，并且，我們可以證明

在

也可測函數，是以

在

上是可測函數。

我們在證明(iii)的時候也采用類似的摳裝技巧。原書上已經給出了

在

上是可測函數的證明，并且，我們可以證明

在

也可測函數，是以

在

上是可測函數。

(iv)這個結論原書上沒有給出，但是後面用到了，是以我也就将其列在這裡，它的證明很簡單直白，是以在這裡就不寫了。

最後總結一下，若

是

上的可測函數，那麼通過規則(i)-(iv)制作的在

上定義良好的函數也是可測函數。注意需要檢查這個被制成的函數在

上是定義良好的（即沒有出現

或

），這是大前提。

證畢。

下面我們來看依測度收斂的定義

定義2 依測度收斂 設

是

上幾乎處處有限的可測函數.若對任給的

，有

，則稱

在

上依測度收斂于

.

在這個定義中我們要注意

這個式子需要采用“反演邏輯”來了解，即能寫出這個式子的前提是這個式子是良好定義的，也就是發生

以及

的

們是排除在集合

之外的。

我們注意到“定義2”依測度收斂裡的研究對象是幾乎處處有限的可測函數們，是以在研究依測度收斂時，我們可以采用一種更加特殊的摳裝技巧，我們将其稱為“

摳裝零測集技巧

”，即把零測的無窮值點集合先摳掉，然後看需要再裝回去。（一樣這個術語也是我“生造”的。）而事實上這個技巧，也是我們說明

是可測集的關鍵（它也是依測度收斂定義合法的前提）。 注意到

是

上幾乎處處有限的可測函數。我們設

在

上處處有限，且

，在這裡

。我們設

在

上處處有限，且

。我們設

，顯然

。接下來我們使用摳裝零測集技巧，我們把零測集

摳掉，那麼根據“定理1”，

在

上是可測函數，是以

是可測集，另外顯然零測集

的子集

是零測集，是以将其裝回去，即它們的并

是可測集。

綜上，符号

合法。

我們接着來看證明過程中使用摳裝零測集技巧的定理3。

定理3 若

在

上同時依測度收斂于

與

，則

與

在

上是幾乎處處相等的。

證明

根據依測度收斂的定義我們知道

是

上幾乎處處有限的可測函數。我們設

在

上處處有限，且

，在這裡

。我們設

在

上處處有限，且

。我麼設

在

上處處有限，且

。我們設

，顯然

。接下來我們使用摳裝零測集技巧，我們把零測集

摳掉，

在

上都是可測實值函數。任取一個

。因為

在

上依測度收斂于

，我們易知

。同理，我們有

。對于所有的

，對于所有的

，我們有

。是以，對于所有的

，我們有

，即

。令

，我們有

，另外顯然零測集

的子集

是零測集，是以将其裝回去，它們的并

。

是以，對于任意

，我們有

。即

與

在

上是幾乎處處相等。

證畢

。

下面我們繼續來看一個使用摳裝零測集技巧的例子。

定理4 設

是

上的幾乎處處有限的可測函數，且

。若函數列

在

上幾乎處處收斂到

，則對任給

，令

，有

。進一步地，

在

上依測度收斂于

。

證明

是固定的。根據我們在“定義2”時的相關讨論易知

是可測集。如果

，在

點處數列

一定不收斂到實數值。我們設

上，

處處收斂到

，且

。我們設在

上，

是實數值的，且

。那麼，在

上，

是實數值的，且

處處收斂到

。是以

。

是零測的，故

。又因為

，即

，是以

。

更進一步地，

，即

。即對任給的

，有

。

在

上依測度收斂于

。

證畢

。

在以下定理中我們遇到了函數列

在某個集合上一緻收斂到

的問題，注意當我們提及“一緻收斂”，預設前提是在該集合上

以及

都是實值函數。

這麼做的原因是，在于“一緻收斂”這個概念不太方面推廣到廣義值函數（當然，有同學對此提出過不同意見，歡迎大家就這個問題在評論區讨論）。

定理5 設

是

上幾乎處處有限的可測函數。若對任給的

，存在

且

，使得

在

上一緻收斂于

，則

在

上依測度收斂于

。

證明

任取一個

。任取一個

。則存在

且

，且

在

上一緻收斂于

。也就是對于此

，存在一個正整數

，當

，對任意

，我們有

，即

，即

。也就是固定一個

，無論

取的多小，都會存在一個

，當

時，

。是以，

。是以，

在

上依測度收斂于

。

證畢。

下面給出依測度Cauchy列的定義。

定義6 依測度Cauchy列 設

是

上幾乎處處有限的可測函數。若對任給的

，

，存在正整數

，如果

，那麼

，則稱

為

上的依測度Cauchy列。

注意

是可測集的原因我們已經在“定義2”下面的解釋中給出過。本定義有以下等價表述：

定義6的等價表述 設

是

上幾乎處處有限的可測函數。若對任給的

，有

，則稱

為

上的依測度Cauchy列。

下面來看一個依測度Cauchy列的重要性質。

定理7 若

是在

上的依測度Cauchy列，則在

上存在幾乎處處有限的可測函數

，使得

在

上依測度收斂于

。

證明

注意在本定理的證明過程中，我們會頻繁使用到摳裝零測集技巧。

注意到

是

上幾乎處處有限的可測函數。我們設

在

上處處有限，且

，在這裡

。我們設

，顯然

。

是在

上的依測度Cauchy列，是以對任意正整數

，存在一個

，當

時有

，即

。

在這裡，關于序列

，可以取成滿足以下條件的樣子：

。

令

，在這裡，

。

顯然,，

。現在研究

的上限集

。我們有

，是以

，即

，在這裡需注意

。

如果

且

，則存在

，

。則對任何

，我們有

。由此可知，當

時，有

。這說明級數

在

上絕對收斂到實數值，是以

在

上收斂到實數值，是以序列

在

上收斂到實數值。是以，

在

上是幾乎處處收斂的，不妨設其，幾乎處處收斂到

，顯然

是幾乎處處有限的可測函數。（注意

在

上取值為序列

在

上收斂到的實數值，在

上可以任意取值 。）

我們固定一個

。下面說明

在

上一緻收斂到

。任取一個

，那麼

，也就是對任意

，我們有

。任取一個

，存在正整數

，當

時，對于所有的

，我們有：

是以，

在

上一緻收斂到

。

是

上幾乎處處有限的可測函數。對任給的

，我們可以取

，然後我們令

，則有

。

在

上一緻收斂到

。是以，根據“定理5”，

在

上依測度收斂于

。

任取一個

。

因為

是在

上的依測度Cauchy列，是以

又因為，

在

上依測度收斂于

，是以

是以，我們得到了

。

是以，

在

上依測度收斂于

。

證畢

。

引理8 若

在

上依測度收斂于

，則

是

上依測度Cauchy列。

證明

根據依測度收斂的定義我們知道

是

上幾乎處處有限的可測函數。我們設

在

上處處有限，且

，在這裡

。我們設

在

上處處有限，且

。我們設

，顯然

。

任取一個

。

因為

在

上依測度收斂于

，是以

以及

。是以

。

是以，

是

上依測度Cauchy列。

證畢

。

定理9 Riesz定理 若

在

上依測度收斂于

，則存在子列

，使得

在

上幾乎處處收斂到

。

證明

在

上依測度收斂于

。根據“引理8”，

在

上是依測度Cauchy列。參照“定理7”的證明過程，我們知道存在子列

，使得得

在

上幾乎處處收斂到

，并且，

在

上依測度收斂于

。顯然，

在

上依測度收斂于

。根據“定理3”，

與

在

上是幾乎處處相等的。

因為

在

上幾乎處處收斂到

，是以在

上

，且

。因為

與

在

上是幾乎處處相等，是以在

上

，且

。是以在

上，我們有

，在這裡

。是以

在

上幾乎處處收斂到

。

證畢

。

尾聲

要注意“定理7”的證明絕對是本文的主菜，裡面補充了很多原文中略寫内容，尤其是證明

在

上一緻收斂到

。這段證明也把摳裝零測集技巧用到了極緻。

顯式地在證明中寫出摳裝零測集的過程的好處是會讓你的證明看起來自然順暢，在看證明過程中不需要因為省略摳裝而擔上太多邏輯上的負擔。但回過頭來看，原書略去“摳裝”這個過程，也是沒有問題的，因為确實零測集掀不起風浪，不會破壞結果。但是這種是似而非的話，出自一個大佬口中，我是信的，但是作為初學者，一定要經過我這樣子的細緻審查，再說，哦，那确實是可以略寫，這樣才算掌握。注意一定要有一個從簡入繁，再化繁為簡的過程才算是掌握。因為老是靠感覺而寫不出嚴謹細緻推導，是要出大問題的。 如果你真的堅持看到這裡，我在這裡首先感謝你（其實作者這麼啰嗦地寫到這裡自己都已經快爆炸了），是以如果你對于本文的内容有任何有疑問的地方，作者會非常熱心地回答。另外其實我本人對本文細節中的某些更加細節的東西的嚴格表述還是有一些小疑問的，希望路過的大佬留個名，可以探讨探讨。

最後本文感謝在QQ和微信上和我諸多讨論的老師同學們了。希望可以借此機會通過本文認識更多的新的老師同學。

永遠對未知保持好奇，對學問保持虔誠。絕不糊弄了事，如果還是一知半解，那就停下腳步，直到弄懂！

數學是我永遠的信仰，是我永遠仰望的存在！

鞠躬！

THE END