測度定義_期權定價基礎之一:測度變換

本人工作中接觸了較多的金融衍生工具，工作之餘寫寫期權定價的相關基礎知識，不對的地方請各位看官多多包涵與指正。

本篇是學習期權定價的第一篇，關于測度變換的介紹。

1、測度

首先什麼是測度（measure）？簡單點說，測度就是“長度”，如區間 [0,1]的測度等于1，區間 [a, b] 的測度為b-a，區間上任意一點的測度為零（因為隻有一個點，一個點的長度為零），測度為0的集合稱之為零測集。 既然一個點的測度等于零，那麼無數多個點組成的集合的測度應該等于多少呢？這個集合也是零測集嗎？比如區間 [0,1] 上的有理數集的測度是多少？學過實分析的同學都知道，可數個零測集的的并集也是零測集，雖然有理數有無窮多個，但有理數是可數的（即與1、2、3……一一對應，或者說等勢），是以區間 [0,1] 上的有理數集是零測集，即有理數點組成的長度為零，進而區間 [0,1] 上無理數集的測度等于1。

當然，并不是所有集合都是可測的，有興趣的同學可以參考實分析教材。（因為我也學得迷迷糊糊）。

簡要介紹測度的目的就是為了引入我們下一階段——機率。

2、機率空間

大家都有機率論的基礎，事實上，機率就是一種滿足某些特殊條件的測度，比如随機變量X在區間 [0,1] 上取值，則X落在字區間 [a, b] 的機率為b-a，剛好就等于區間 [a, b] 的測度。那麼測度需要滿足怎樣的條件才能稱之為機率呢？下面給出機率的定義：

定義1.1

假設

是一個非空集合，

為由

子集組成的一個

-代數。機率測度

P

就是一個函數，該函數給任意一個集合

，賦予一個區間 [0，1]上的數，稱之為A的機率

，如果滿足：

（1）

P

(

)=1

（2） （可數可加性）若

中任意不想交的集合

，

，

滿足

那麼就可稱三元組

為一個機率空間。

通過以上機率空間的定義，可以推到出機率的一些常見性質，如空集的機率為零，

等，機率

定義在由

子集組成的

-代數上是為了保證計算的集合的機率确實是存在的。

值得注意的是，我們的機率 測度

并不是唯一确定的，即我們可以任意定義一個測度，隻要其滿足定義1.1中的兩個條件，該測度就是一個機率，它和集合、

-代數一起任然組成了一個新的機率空間。例如我們上面将區間【0，1】上的集合【a，b】的機率

定義為

（即均勻分布，事實上确實如此），如果我們在該集合上定義一個新的測度

,顯然

也是一個機率測度（因為滿足機率空間定義中的兩個條件），它隻不過是對某些集合賦予了較高的機率，而對另一些集合賦予了較低的機率，即不再是均勻分布的了。是以，一個随機變量可能有多個不同的分布，這取決于我們對機率測度的定義；而且不同的随機變量也有可能有相同的分布。

3、随機變量的期望

随機變量

就是樣本空間

中随機試驗

的函數，它将随機試驗映射為一個實數值。随機變量的期望定義為

能取得所有可能值得平均值，用公式可表示為

在樣本空間元素可數的情況下，我們可以用以上求和的方法計算其期望值，那麼如果

中的元素是不可數無窮個，該如何計算其期望值呢？此時就需要引入實分析裡面的Lebesgue積分了。

傳統積分就是我們高數裡面學習的積分，即黎曼積分，對于幾乎處處連續的函數

,黎曼積分

的計算原理是對定義域做劃分，劃分一些小區間，計算函數

在每個區間的最大值和最小值，然和求出每個區間的黎曼上和與黎曼下和，在區間長度趨于零的時候，求黎曼上和與黎曼下和的極限值，如果兩個極限值相等，我們就得到了該函數的黎曼積分結果。

然而，上述期望值公式裡面的函數

是定義在随機試驗

上的函數，通常情況下

并不是實數，此時我們無法利用黎曼積分關于劃分定義域的思想來切分

，是以黎曼積分方法此時無效。雖然我們無法劃分定義域，但可以考慮劃分值域，這就是Lebesgue積分的思想——劃分值域。即我們對随機變量

的取值結果做劃分，先假設

，取值域上點集

,滿足

,令

，

，定義Lebesgue下和

，

則當令

趨于零時，上式的極限即為Lebesgue積分，記為

,或簡單記為

。

據此，可以定義随機變量

的期望為：

,當然該定義的假設條件為

需為可積的，也就是說

。

以一個簡單的例子來舉例說明黎曼積分和Lebesgue積分的差别。如前面的例子，定義在區間【0，1】上的随機變量

，滿足當

為無理數時，

,當

為有理數時，

,則随機變量

的期望值應等于1。但是從黎曼積分的角度看，由于任意區間都包含有理數和無理數，是以可以得到黎曼上和等于1，黎曼下和等于0，是以從黎曼積分角度看該函數是不可積的。

一個有界函數黎曼可積的條件是該函數幾乎處處連續，一個函數黎曼可積則該函數也滿足Lebesgue可積，且積分結果相等。

4、測度變換

在機率空間

中，假設

為幾乎處處非負的随機變量，且

，對于任意的

,定義

，則很容易證明

是一個機率測度，此外，容易證明如果

是一個非負随機變量，則

，其中

為機率測度

下的期望值。

上面從機率測度

到機率測度

的過程即為一個測度變換，通過引入一個幾乎處處非負的随機變量，其期望值為1，通過放大某些集合的機率，同時縮小另一些集合的機率，進而得到一個新的機率測度。

例1：定義樣本空間【0，1】上的随機變量

，

為均勻分布機率，則

，新的機率測度

，且

，即

，我們将

稱之為

對

的

Radon-Nikodym導數

。

例2：假設

為标準正态分布下的機率測度，

為标準正态分布下的随機變量，令

，其中

為正數，則很容易證明在新的機率測度

下，随機變量

也服從标準正态分布。

在金融領域，我們建立的樣本空間為金融資産未來的可能價格，這些價格有一個真實的機率

，然而在計算衍生品價格時我們将會使用另外一種機率測度——風險中性測度

。在金融領域，通過引入風險中性測度，為期權等衍生品價格的計算提供了一種新的方法。隻要Radon-Nikodym導數

為幾乎處處非負的，則兩種機率測度是等價的，即它們對不可能事件的測度都為0，對必然事件的測度都為1，而它們的差別在于對其他集合賦予了不同的機率密度。

為什麼一個樣本空間有兩種機率？在風險中性機率測度下計算的衍生品價格與真實世界機率測度下計算的結果難道沒有差别嗎？其實機率隻是空間中的一個算子，我們可以随意定義

，隻要滿足定義1.1中機率的條件就可以了，是以我們可以定義不同的機率測度。另外，在金融領域，隻存在一個真實的機率測度，風險中性機率測度隻是我們計算過程中的一個推論，在該推論下進而求得衍生品的價格，我們不會去假設風險中性，因為假設股票的期望收益為無風險利率是明顯不合理的，進而求得的衍生品價格并不可靠。後期的文章我将詳細介紹風險中性測度是如何運用于衍生品的定價。