矩陣的特征分解

文章目錄

• 1.特征值和特征向量
• 2.矩陣的特征分解
• 3.直覺了解
• 4.通過特征分解求逆矩陣
• 5.對特殊矩陣的矩陣分解

• 對稱矩陣

• 參考

1.特征值和特征向量

線性代數中，特征分解(eigendecomposition)是将矩陣分解為由特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。

給定一個方陣

，我們認為在以下條件下，

是

的特征值，

是相應的特征向量：

直覺地說，這個定義意味着将

乘以向量

會得到一個新的向量，該向量指向與

相同的方向，但按系數

縮放。值得注意的是，對于任何特征向量

和标量

，

，

也是一個特征向量。

是以，當我們讨論與

相關的特征向量時，我們通常假設特征向量被标準化為長度為1（這仍然會造成一些歧義，因為

和

都是特征向量，但我們必須接受這一點）。

我們可以重寫上面的等式來說明

是

的特征值和特征向量的組合：

但是

隻有當

有一個非空零空間時，同時

是奇異的，

才具有非零解，即：

現在，我們可以使用行列式的先前定義将表達式

擴充為

中的（非常大的）多項式，其中，

的度為

。它通常被稱為矩陣

的特征多項式。

然後我們找到這個特征多項式的

（可能是複數）根，并用

表示。這些都是矩陣

的特征值，但我們注意到它們可能不明顯。為了找到特征值

對應的特征向量，我們隻需解線性方程

，因為

是奇異的，是以保證有一個非零解（但也可能有多個或無窮多個解）。

應該注意的是，這不是實際用于數值計算特征值和特征向量的方法（記住行列式的完全展開式有

項），這是一個數學上的争議。

以下是特征值和特征向量的屬性（所有假設在

具有特征值

的前提下）：

• 的迹等于其特征值之和
• 的行列式等于其特征值的乘積
• 的秩等于
• 的非零特征值的個數
• 假設
• 非奇異，其特征值為
• 和特征向量為
• 。那麼
• 是具有相關特征向量
• 的
• 的特征值，即
• 。（要證明這一點，取特征向量方程，
• ，兩邊都左乘
• ）
• 對角陣的特征值
• 實際上就是對角元素

注意：隻有可對角化矩陣才能特征分解

2.矩陣的特征分解

令

是一個

的方陣，且有

個線性獨立的特征向量

，A可以被分解為

其中

是

方陣，且第

列

的特征向量

。

是對角矩陣，其對角線上的元素為對應的特征值，即

一般而言，特征向量

被機關化，但是未被機關化的特征向量

也可以作為

的列向量。可以了解為

中向量的長度被

抵消了。

3.直覺了解

先說結論

将向量看作空間中一個點，矩陣可視作點的運動，對于可以矩陣分解的矩陣：

• 特征值就是運動的速度
• 特征向量就是運動的方向

令矩陣

将

左乘一個機關矩陣

，即

我們看下向量

發生了什麼變換

向量

，向量

可以看出，

分别逆時針旋轉

怎麼辦到的呢？給定要給一個題目，将二維平面上一點逆時針旋轉

，求旋轉後得坐标。可以解得：

令

比對一下上式與

，會發現兩者相同，是以，

得作用就是将機關矩陣每個列向量逆時針旋轉

對角矩陣

則是将向量沿着特征向量的方向放縮，

再将旋轉的向量還原回去。

4.通過特征分解求逆矩陣

若矩陣

可被特征分解且特征值中不含

，則矩陣

為非奇異矩陣，且其逆矩陣

因為

為對角矩陣，其逆矩陣容易計算出

5.對特殊矩陣的矩陣分解

對稱矩陣

任意的實對稱矩陣的特征值都是實數且有

個線性無關的特征向量，并且這些特征向量都可以正交機關化得到一組正交且模長為1的向量。實對稱矩陣可被分解成

為正交矩陣，

為實對角矩陣

參考