資料分析（1）——統計學中的各種分布

• 1. 離散機率分布
• • 1.1 二項分布
  • • 1.1.1 二項分布的定義及其公式
    • 1.1.2 二項分布的性質（适用情況）
    • 1.1.3 例題
  • 1.2 伯努利分布
  • • 1.2.1 伯努利分布的定義及其公式
    • 1.2.2 伯努利分布的适用情況（舉例）
  • 1.3 幾何分布
  • • 1.3.1 幾何分布的定義和公式
    • 1.3.2 幾何分布的适用情況（與二項分布的差別）
    • 1.3.3 幾何分布的題目
  • 1.4 泊松分布
  • • 1.4.1 泊松分布的定義和公式
    • 1.4.2 泊松分布的性質
    • 1.4.3 泊松分布的适用情況（例題）
• 2 連續機率分布
• • 2.1 指數分布
  • • 2.1.1 指數分布定義和公式
    • 2.1.2 指數分布适用情況
    • 2.1.3 指數分布與泊松分布的差別
  • 2.2 均勻分布
  • • 2.2.1 均勻分布的公式
  • 2.3 正态分布（高斯分布）
  • • 2.3.1 正态分布定義及公式
    • 2.3.2 正态分布的特征
    • 2.3.3 正态分布的性質
• 小結

1. 離散機率分布

1.1 二項分布

1.1.1 二項分布的定義及其公式

① 定義：在給定每次實驗的成功機率p、實驗次數n的情況下，成功數x的頻數分布。

在二項分布中，關注的是在n次試驗中成功出現的次數。

② 二項分布的機率函數：

③ 二項分布的數學期望和方差：

1.1.2 二項分布的性質（适用情況）

① 實驗由一系列相同的n個實驗組成

② 每次實驗都有兩種可能結果，及成功和失敗

③ 每次實驗成功的機率相同，用p表示，失敗機率則為1-p

④ 實驗都是互相獨立的

1.1.3 例題

如果連結點選轉換為購買的機率為0.02，那麼觀測到200次點選但沒有購買的機率？
           

解答：

• 題為求200次沒有成功的機率（1-200次中成功一次的機率），服從二項分布
• p = 0.02 , n= 200, x = 1
• 觀測到200次點選但沒有購買的機率為：

  

1.2 伯努利分布

1.2.1 伯努利分布的定義及其公式

① 定義：在二項分布n=1時的特例，一次随機實驗，成功的機率為p，失敗的機率為q=1-p，成功的次數也隻有0和1兩種情況。

② 機率密度：

③ 期望和方差：

1.2.2 伯努利分布的适用情況（舉例）

抛硬币（正反）、檢測産品（合格 不合格）、買彩票（中獎 未中獎）

1.3 幾何分布

1.3.1 幾何分布的定義和公式

① 定義：在重複多次的伯努利實驗中，實驗進行到某種結果出現第一次為止，此時的實驗總次數符合幾何分布。

② 機率密度：

其中，p為成功的機率，即為了在第x次嘗試取得第1次成功，首先要失敗（x-1）次。

③ 期望和方差：

1.3.2 幾何分布的适用情況（與二項分布的差別）

二項分布關注“n次實驗中成功x的機率”，幾何分布關注“第x嘗試取得第1次成功的機率”。

1.3.3 幾何分布的題目

例：一位滑雪者不出意外順利滑至坡底的機率為0.4，求
① 前10次滑雪失敗，第11次成功的機率
② 第4次或者不足4次就成功的機率
③ 4次以上才能成功的機率
           

解答：

① 前10次滑雪失敗，第11次成功的機率：

② 第4次或者不足4次就成功的機率：

③ 4次以上才能成功的機率：

1.4 泊松分布

1.4.1 泊松分布的定義和公式

① 定義：機關時間内或者機關空間中事件數量的頻數分布

② 機率密度：

其中，泊松分布的參數λ是機關時間（機關面積）内随機事件的平均發生次數。

③ 期望和方差：λ

④ 分布圖：

1.4.2 泊松分布的性質

① 在任意兩個相等長度的區間上，事件發生的機率相等。

② 事件在某一區間上是否發生與事件在其他區間是否發生是獨立的。

1.4.3 泊松分布的适用情況（例題）

如：一小時内到達候車廳的人數、10英裡長的高速路上需要維修的路段數目

工作日早上15min内到達某銀行出納視窗的汽車數量：
曆史資料顯示，15min内到達車輛的平均數為10，求15min内恰好到達五輛車的機率。
           

解答：

2 連續機率分布

2.1 指數分布

2.1.1 指數分布定義和公式

① 定義：模組化各次事件之間的時間分布情況

② 機率密度函數：

③ 分布函數：

④ 期望與方差：

⑤ 分布圖：

2.1.2 指數分布适用情況

如：網站通路的時間間隔、汽車抵達收費站的時間間隔

2.1.3 指數分布與泊松分布的差別

泊松分布描述了每一區間中事件發生的次數，

指數分布描述了事件發生的時間間隔長度。

2.2 均勻分布

2.2.1 均勻分布的公式

① 定義：均勻分布也叫矩形分布，它是對稱機率分布，在相同長度間隔的分布機率是等可能的 。

② 機率密度：

③ 機率分布：

④ 期望和方差：

⑤ 分布圖：

2.3 正态分布（高斯分布）

2.3.1 正态分布定義及公式

① 定義：經常用在自然和社會科學來代表一個不明的随機變量，比如人的身高和體重、考試成績、科學測量、降雨量等，都近似正态分布。

② 機率密度：

當期望=0，方差=1時，為标準正态分布：

③ 分布圖：

2.3.2 正态分布的特征

① 正态曲線的最高點在均值處，均值還是分布的中位數和衆數

② 正态分布是對稱的

③ 标準差決定曲線的平坦程度，标準差越大，曲線越平坦

④ 正态随機變量的機率是由正态曲線下的面積給出

2.3.3 正态分布的性質

小結

• 在離散分布中，要區分二項分布與幾何分布的差別。
• 要明确知道各個分布的适用情況以及大概的分布圖示。