《商務與經濟統計》學習筆記(五)-點估計和區間估計

1.點估計

點估計是依據樣本估計總體分布中所含的未知參數或未知參數的函數。簡單的來說，指直接以樣本名額來估計總體名額，也叫定值估計。通常它們是總體的某個特征值，如數學期望、方差和相關系數等。點估計問題就是要構造一個隻依賴于樣本的量，作為未知參數或未知參數的函數的估計值。

2. x ˉ \bar x xˉ的抽樣分布

x ˉ \bar x xˉ的抽樣分布是樣本均值 x ˉ \bar x xˉ的所有可能的值的機率分布。

E ( x ˉ ) = μ 有 限 總 體 的 情 況 ： σ x ˉ = N − n n − 1 ( σ n ) 無 限 總 體 的 情 況 ： σ x ˉ = σ n E(\bar x) =\mu \\ 有限總體的情況：\sigma_{\bar x}=\sqrt{\cfrac{N-n}{n-1}}(\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\\ 無限總體的情況： \sigma_{\bar x}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} E(xˉ)=μ有限總體的情況：σxˉ​=n−1N−n​

​(n

​σ​)無限總體的情況：σxˉ​=n

​σ​

計算 x ˉ \bar x xˉ的标準差的公式： σ x ˉ = σ n \sigma_{\bar x}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} σxˉ​=n

​σ​

條件：（1）總體是無限的

（2）總體是有限的，但樣本容量不大于總體容量的5%，即n/N小于等于0.05。

• x ˉ \bar x xˉ的抽樣分布形式：

  （1）總體服從正态分布，則 x ˉ \bar x xˉ的抽樣分布也服從正态分布。

  （2）總體不服從正态分布，根據中心極限定理，樣本均值 x ˉ \bar x xˉ的抽樣分布近似服從正态分布。

3.區間估計

因為點估計是用于估計總體參數的樣本統計量，是以我們不可能期望點估計能夠給出總體參數的精确值，是以經常在點估計上加減一個被稱為邊際誤差的值來計算區間估計。區間估計的一般形式為：

點 估 計 ± 邊 際 誤 差 點估計\pm 邊際誤差 點估計±邊際誤差

區間估計的目的：提供基于樣本得出的點估計值與總體參數值的接近程度方面的資訊。

3.1 總體均值的區間估計： σ \sigma σ已知情形

x ˉ ± z α / 2 σ n \bar x\pm z_{\alpha/2}\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} xˉ±zα/2​n

​σ​

式中，1- α \alpha α為置信系數； z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2​表示标準正态機率分布上側面積為 α / 2 \alpha/2 α/2時的z值。

3.2總體均值的區間估計： σ \sigma σ未知情形

在 σ \sigma σ未知的情況下，為了計算 μ \mu μ的區間估計，用樣本标準差 s s s估計 σ \sigma σ,用 t α / 2 t_{\alpha/2} tα/2​代替 z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2​。

是以，當 σ \sigma σ未知的時候，總體區間估計的一般公式為：

x ˉ ± t α / 2 s n \bar x\pm t_{\alpha/2}\cfrac{s}{\sqrt{n}} xˉ±tα/2​n

​s​

式中，s為樣本标準差，1- α \alpha α為置信系數； t α / 2 t_{\alpha/2} tα/2​表示自由度為n-1的t分布中， t α / 2 t_{\alpha/2} tα/2​上側面積為 α / 2 \alpha/2 α/2時的t值。