《商务与经济统计》学习笔记(五)-点估计和区间估计

1.点估计

点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。简单的来说，指直接以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计。通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。

2. x ˉ \bar x xˉ的抽样分布

x ˉ \bar x xˉ的抽样分布是样本均值 x ˉ \bar x xˉ的所有可能的值的概率分布。

E ( x ˉ ) = μ 有 限 总 体 的 情 况 ： σ x ˉ = N − n n − 1 ( σ n ) 无 限 总 体 的 情 况 ： σ x ˉ = σ n E(\bar x) =\mu \\ 有限总体的情况：\sigma_{\bar x}=\sqrt{\cfrac{N-n}{n-1}}(\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}})\\ 无限总体的情况： \sigma_{\bar x}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} E(xˉ)=μ有限总体的情况：σxˉ​=n−1N−n​

​(n

​σ​)无限总体的情况：σxˉ​=n

​σ​

计算 x ˉ \bar x xˉ的标准差的公式： σ x ˉ = σ n \sigma_{\bar x}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} σxˉ​=n

​σ​

条件：（1）总体是无限的

（2）总体是有限的，但样本容量不大于总体容量的5%，即n/N小于等于0.05。

• x ˉ \bar x xˉ的抽样分布形式：

  （1）总体服从正态分布，则 x ˉ \bar x xˉ的抽样分布也服从正态分布。

  （2）总体不服从正态分布，根据中心极限定理，样本均值 x ˉ \bar x xˉ的抽样分布近似服从正态分布。

3.区间估计

因为点估计是用于估计总体参数的样本统计量，所以我们不可能期望点估计能够给出总体参数的精确值，所以经常在点估计上加减一个被称为边际误差的值来计算区间估计。区间估计的一般形式为：

点 估 计 ± 边 际 误 差 点估计\pm 边际误差 点估计±边际误差

区间估计的目的：提供基于样本得出的点估计值与总体参数值的接近程度方面的信息。

3.1 总体均值的区间估计： σ \sigma σ已知情形

x ˉ ± z α / 2 σ n \bar x\pm z_{\alpha/2}\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} xˉ±zα/2​n

​σ​

式中，1- α \alpha α为置信系数； z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2​表示标准正态概率分布上侧面积为 α / 2 \alpha/2 α/2时的z值。

3.2总体均值的区间估计： σ \sigma σ未知情形

在 σ \sigma σ未知的情况下，为了计算 μ \mu μ的区间估计，用样本标准差 s s s估计 σ \sigma σ,用 t α / 2 t_{\alpha/2} tα/2​代替 z α / 2 z_{\alpha/2} zα/2​。

所以，当 σ \sigma σ未知的时候，总体区间估计的一般公式为：

x ˉ ± t α / 2 s n \bar x\pm t_{\alpha/2}\cfrac{s}{\sqrt{n}} xˉ±tα/2​n

​s​

式中，s为样本标准差，1- α \alpha α为置信系数； t α / 2 t_{\alpha/2} tα/2​表示自由度为n-1的t分布中， t α / 2 t_{\alpha/2} tα/2​上侧面积为 α / 2 \alpha/2 α/2时的t值。