【線性代數】轉置矩陣與逆矩陣, 矩陣的秩(transpose matrix & inverse matrix, rank)

• 矩陣的轉置 – 轉置矩陣
• 矩陣的求逆 – 逆矩陣
• 矩陣的秩(rank)

矩陣的轉置 – 轉置矩陣

矩陣中行号和列号相等的元素構成的對角線被稱為矩陣的主對角線(main diagonal), 矩陣的轉置就是以這條軸為鏡像，進行 坐下角與右上角元素的翻轉, 即

• 主對角線上的元素不動
• 其餘元素行号和列号互換，變換位置

得到的新矩陣叫做原矩陣的轉置矩陣。

(AT)i,j=Aj,i ( A T ) i , j = A j , i

矩陣的求逆 – 逆矩陣

矩陣 A A 的逆矩陣，記做 A−1 A − 1 , 定義為

A−1A=AA−1=In A − 1 A = A A − 1 = I n

, 矩陣的逆是一個很重要的概念，因為對于一般的線性方程 Ax=b A x = b

(其中 A A 是矩陣， x,b x , b 是向量), 其解析解為 x=A−1b x = A − 1 b

. 對于一個任意的矩陣 A A q求逆，有兩個核心問題

1. A−1 A − 1 是否存在
2. 若 A−1 A − 1 存在，如何求解出來

首先，判斷是否存在，我們有

隻有非奇異的方陣，才有逆矩陣。

• 方陣，意味着行數和列數相等
• 非奇異，意味着所有的列向量都是線性無關的，即滿秩

矩陣的秩(rank)

線上性代數中，一個矩陣 A A 的列秩是 A A 的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是 A A 的線性無關的橫行的極大數目,記做 r(A),rk(A),rank(A) r ( A ) , r k ( A ) , r a n k ( A ) .

一個很有意思的概念，值得單寫一篇.