文章目錄
- 一、求 1 的傅裡葉反變換
- 0、周期 2π 的機關脈沖函數
- 1、問題分析
- 2、涉及公式介紹
- 3、1 的傅裡葉反變換
- 4、1 的傅裡葉反變換
一、求 1 的傅裡葉反變換
已知 傅裡葉變換
X
(
e
j
ω
)
=
2
π
δ
~
(
ω
)
X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )
X(ejω)=2πδ
(ω)
求該 傅裡葉變換的 反變換
I
S
F
T
[
X
(
e
j
ω
)
]
ISFT[X(e^{j\omega})]
ISFT[X(ejω)]
0、周期 2π 的機關脈沖函數
機關脈沖函數 ( 機關沖擊函數 ) 對應的 函數圖像 如下 : 橫軸是
n
n
n , 縱軸是
δ
(
n
)
\delta (n)
δ(n) ;
-
n
=
n = 0
n=0 時 ,
δ
(
n
)
=
1
\delta (n) = 1
δ(n)=1
-
n
=
1
n = 1
n=1 時 ,
δ
(
n
)
=
\delta (n) = 0
δ(n)=0
【數字信号處理】序列傅裡葉變換 ( 基本序列的傅裡葉變換 | 求 1 的傅裡葉變換 )
如果寫成
δ
~
(
ω
)
\widetilde{\delta} ( \omega )
δ
(ω) 樣式 , 說明該 機關脈沖函數 是以
2
π
2 \pi
2π 為周期的 ,
δ
~
(
ω
)
\widetilde{\delta} ( \omega )
δ
(ω) 可以寫成如下式子 :
δ
~
(
ω
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
2
π
m
)
\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )
δ
(ω)=m=−∞∑∞δ(ω−2πm)
m
m
m 取值
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty , +\infty)
(−∞,+∞) ;
其函數圖像如下樣式 :
1、問題分析
求 1 的 傅裡葉變換 SFT , 無法直接求出 , 這裡求其 傅裡葉反變換 ;
δ
~
(
ω
)
\widetilde{\delta} ( \omega )
δ
(ω) 序列如下圖所示 :
除了在
0 位置外 , 在
2
π
,
4
π
,
6
π
2\pi , 4\pi , 6\pi
2π,4π,6π 等位置 , 都是 無限沖激響應 ,
其實體意義是 所有的能量 , 都集中在
ω
=
\omega = 0
ω=0 位置上 ;
周期信号 資訊 都在其 周期組織區間内 , 其它區間都是周期性重複的 , 是以這裡隻分析
[
−
π
,
π
]
[-\pi , \pi]
[−π,π] 之間的信号 ;
δ
~
(
ω
)
\widetilde{\delta} ( \omega )
δ
(ω) 的實體意義是 所有的能量 都集中在
ω
=
,
±
2
π
,
±
4
π
,
⋯
\omega = 0 , \pm2\pi , \pm 4\pi , \cdots
ω=0,±2π,±4π,⋯ 位置上 ;
2、涉及公式介紹
傅裡葉變換 : 時域 " 離散非周期 " 信号 , 其頻域就是 " 連續周期 " 的 , 其頻域 可以 展開成一個 " 正交函數的無窮級數權重和 " , 如下公式
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
e
−
j
ω
n
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}
X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅裡葉反變換 : 利用 " 正交函數 " 可以推導出 " 傅裡葉反變換 " , 即 根據 傅裡葉變換 推導 序列 ;
x
(
n
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
X
(
e
j
ω
)
e
j
ω
k
d
ω
x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega
x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
3、1 的傅裡葉反變換
将
X
(
e
j
ω
)
=
2
π
δ
~
(
ω
)
X(e^{j\omega}) = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega )
X(ejω)=2πδ
(ω)
帶入到
x
(
n
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
X
(
e
j
ω
)
e
j
ω
k
d
ω
x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega
x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
傅裡葉反變換 公式中 , 可以得到如下公式 :
I
S
F
T
[
X
(
e
j
ω
)
]
=
1
2
π
∫
−
π
π
2
π
δ
~
(
ω
)
e
j
ω
k
d
ω
ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) e^{j \omega k} d \omega
ISFT[X(ejω)]=2π1∫−ππ2πδ
(ω)ejωkdω
−
π
-\pi
−π ~
π
\pi
π 之間 , 隻有
ω
=
\omega = 0
ω=0 點有值為
1
1
1 , 其它點都為
0 ,
-
當
ω
=
\omega = 0
ω=0 時 , 結果是
2
π
2\pi
2π
-
當
ω
≠
\omega \not=0
ω=0 時 ,
δ
~
(
ω
)
=
\widetilde{\delta} ( \omega ) = 0
δ
(ω)=0 , 結果都是
0 ;
是以 ,
∫
−
π
π
X
(
e
j
ω
)
e
j
ω
k
=
1
\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} = 1
∫−ππX(ejω)ejωk=1
可得到下面的式子 :
I
S
F
T
[
X
(
e
j
ω
)
]
=
1
2
π
×
2
π
=
1
ISFT[X(e^{j\omega})] = \cfrac{1}{2\pi} \times 2 \pi = 1
ISFT[X(ejω)]=2π1×2π=1
其中 ,
k
k
k 取值
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty , +\infty)
(−∞,+∞) ;
4、1 的傅裡葉反變換
最終可以得到一個公式 , 傅裡葉變換如下 :
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
e
−
j
ω
n
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}
X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
使用
1
1
1 替換上述
x
(
n
)
x(n)
x(n) , 可以得到 :
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
e
−
j
ω
n
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n}
X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn
結合本部落格中的示例 :
1
1
1 的傅裡葉變換如下 ,