文章目錄
- 一、傅裡葉變換線性性質
- 二、傅裡葉變換時移性質
- 證明過程
一、傅裡葉變換線性性質
傅裡葉變換 線性性質 :
兩個序列之和 的 傅裡葉變換 ,
等于
兩個序列 的 傅裡葉變換 之和 ;
S
F
T
[
a
x
1
(
n
)
+
b
x
2
(
n
)
]
=
a
S
F
T
[
x
1
(
n
)
]
+
b
S
F
T
[
x
2
(
n
)
]
SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aSFT[x_1(n)] + bSFT[x_2(n)]
SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aSFT[x1(n)]+bSFT[x2(n)]
代入 傅裡葉變換 公式
S
F
T
[
x
(
n
)
]
=
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
e
−
j
ω
n
SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}
SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
得到 :
S
F
T
[
a
x
1
(
n
)
+
b
x
2
(
n
)
]
=
a
X
1
(
e
j
ω
)
+
b
X
2
(
e
j
ω
)
SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aX_1(e^{j\omega}) + bX_2(e^{j\omega})
SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(ejω)+bX2(ejω)
二、傅裡葉變換時移性質
傅裡葉變換時移性質 :
序列信号 在 " 時間 " 上 , 進行一系列 " 平移 " 之後 ,
平移 隻是影響 序列信号傅裡葉變換 的 " 相頻特性 " ,
平移 沒有影響 序列信号傅裡葉變換 的 " 幅頻特性 " ;
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列 線性移位
−
n
-n_0
−n0 後 為
x
(
n
−
n
)
x(n - n_0)
x(n−n0) ,
x
(
n
−
n
)
x(n - n_0)
x(n−n0) 序列的 傅裡葉變換
S
F
T
[
x
(
n
−
n
)
]
SFT[x(n - n_0)]
SFT[x(n−n0)] 是
原來的
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列 的 傅裡葉變換
S
F
T
[
x
(
n
)
]
SFT[x(n)]
SFT[x(n)] 乘以
e
−
j
ω
n
e^{-j \omega n_0}
e−jωn0 ;
使用公式表示為 :
S
F
T
[
x
(
n
−
n
)
]
=
e
−
j
ω
n
X
(
e
j
ω
)
SFT[x(n - n_0)] = e^{-j \omega n_0} X(e^{j \omega})
SFT[x(n−n0)]=e−jωn0X(ejω)
證明過程
傅裡葉變換公式為 :
S
F
T
[
x
(
n
)
]
=
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
e
−
j
ω
n
SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}
SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
x
(
n
)
x(n)
x(n) 序列 , 在時間次元
n
n
n 的基礎上 , 平移
n
n_0
n0 , 得到的序列是
x
(
n
−
n
)
x(n - n_0)
x(n−n0) ,
代入 傅裡葉變換 公式後得到 :
S
F
T
[
x
(
n
−
n
)
]
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
−
n
)
e
−
j
ω
n
SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n - n_0) e^{-j \omega n}
SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n−n0)e−jωn
令
n
′
=
n
−
n
n' = n - n_0
n′=n−n0 , 則有
n
=
n
′
+
n
n = n' + n_0
n=n′+n0 , 代入到上面的式子中 :
S
F
T
[
x
(
n
−
n
)
]
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
′
)
e
−
j
ω
(
n
′
+
n
)
SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega ( n' + n_0 )}
SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n′)e−jω(n′+n0)
展開
e
−
j
ω
(
n
′
+
n
)
e^{-j \omega ( n' + n_0 )}
e−jω(n′+n0) 得到 :
S
F
T
[
x
(
n
−
n
)
]
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
′
)
e
−
j
ω
n
′
e
−
j
ω
n
①
SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega n' } e^{-j \omega n_0 } \ \ \ \ ①
SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n′)e−jωn′e−jωn0 ①
傅裡葉變換公式為 :
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
e
−
j
ω
n
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}
X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
使用
n
′
n'
n′ 替換上面公式中的
n
n
n , 可得到 ;
X
(
e
j
ω
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
′
)
e
−
j
ω
n
′
②
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n') e^{-j \omega n'} \ \ \ \ ②
X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n′)e−jωn′ ②
将 ② 帶入到 ① 中 , 可以得到
![Dsp相關問題思考筆記（一）問題思考過程[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)