地震波正演模拟是逆時偏移（Inverse time migration，RTM）和全波形反演（Full-waveform inversion，FWI）的基礎，在地震資料處理過程中起着關鍵作用。與傳統的時間域方法相比，頻率域方法具有适合多炮計算、便于模拟粘滞效應、易于并行運算等優點。頻率域彈性波正演模拟中的傳統9點方法（圖1a）适用于任意不等的空間采樣間隔，具有很強的靈活性，但需要很細的網格劃分才能達到較高的模拟精度。
由于求解亥母霍茲方程的記憶體需求并非簡單的線性增長，細網格意味着計算成本的大幅上升。前人将笛卡爾坐标系進行45°旋轉，開發了旋轉優化9點方法（圖1b），相對傳統9點方法具有更高的精度，有效地節省了計算成本。然而，該方法的一個缺陷是其限制了所有方向上的采樣間隔必須相等，這就可能導緻在一些稀疏采樣即可滿足精度要求的方向上仍必須進行密集采樣，使得其靈活性不如傳統9點方法。
圖1（a）傳統9點方法：θ角沒有限制，但數值精度低，需要很高的計算成本才能滿足精度要求；（b）旋轉優化9點方法：數值精度高，但θ角必須為45°，在一些稀疏采樣就能滿足精度要求的方向上必須進行密集采樣；（c）仿射優化9點方法：數值精度更高，且θ角沒有限制，在節省計算資源上具有更多的靈活性
為解決上述問題，中科院地質與地球實體研究所油氣資源研究院重點實驗室董樹立博士及其導師陳景波研究員提出了仿射坐标變換法（如圖1c）。與笛卡爾坐标系不同，仿射坐标系不必限制坐标軸彼此正交。他們基于仿射坐标變換提出的優化9點方法同時克服了傳統9點方法的低精度問題以及旋轉優化9點方法的等采樣間隔的限制。此外，他們還将這種仿射技術應用于對自由表面邊界的處理。由于媒體内部和自由表面在表達式上的高度一緻性，使得二者可共享一套優化系數，同時提高了體波和面波的模拟精度。Overthrust模型數值算例表明，仿射優化方法能以更粗的空間采樣網格（意味着更低的計算成本）提供高精度的計算結果（如圖2所示）。這種仿射優化方法尤其适用于一些縱、橫向速度不相等勘探區域和理論速度模型。
圖2 複雜媒體下，傳統方法與仿射優化方法在（a）自由表面處，（b）媒體内部的頻率域地震圖。仿射優化方法能以更粗的空間采樣網格提供高精度的結果
研究成果發表于國際學術期刊Geophysics（董樹立，陳景波*. An affine generalized optimal scheme with improved free-surface expression using adaptive strategy for frequency-domain elastic wave equation [J]. Geophysics, 2022, 87(3): T183-T204. DOI: 10.1190/geo2021-0345.1）。研究受國家自然科學基金項目（42074159 & 41874163）資助。
美編：陳菲菲
校對：張騰飛 姜雪蛟