大學分純數學學院和應用數學學院，這是幸運還是不幸？

數學，到底是科學還是藝術？可以說，既是科學，也是藝術。數學是一門非常古老的學科，既推動技術進步，也伴随着技術的進步而進步。人類需要測量土地，是以發明了幾何學；電動力學的發展也是得益于數學家引入了偏微分方程組；平面和流體力學等則催生了複變分析等數學領域的發展。

但數學的重要性還展現在另外一個層面，那就是證明，尤其是用于實驗科學的證明。檢驗真理的标準是實驗的可重複性，是以無論什麼理論，都必須通過數學實驗得到獨立的論證。馮·諾依曼曾經說過，這個想法在他的一生中曾發生過多次改變，但事實卻依然如此。數學有着驚人的穩定性，2000多年前歐幾裡得書裡的證明至今看依然非常有效。證明的目的，是為了了解。對數學家來說，僅僅知道某件事是正确還是錯誤，是不夠的，他們更想知道為什麼它是正确的，它背後的思路是什麼。

數學之美與實體之美乃至科學之美，是一緻的

證明的過程，可以是美麗的，也有可能是醜陋的。如果你聽過兩個數學家之間的對話，你很可能會認為，他們應該是藝術家，因為他們常常會談論這個證明美、那個證明則不怎麼樣。

那麼，數學中的“美”意味着什麼？“美”是無法定義的。當然，數學家會使用非常簡單的乘數、深刻的道理以及複雜的證明去展示這一點，就像偉大的費馬大定理一樣。他們喜歡并且期待來自不同領域的想法，還喜歡通用性，即同一個理念在不同環境中以不同形式出現。

數學中，衡量“美”的黃金标準是伽羅瓦理論。伽羅瓦是法國人，20歲就因為決鬥而離世，他從沒上過學，沒接受過任何正規數學教育，連大學的入學考試也沒有通過。當年，他隻是一個沒人感興趣的小青年，連長相如何，至今都隻有靠藝術家的一些猜測。直到100年後人們才知道他是一個無人能取代的數學天才，他在18歲就創立的群論，改變了後世數學的程序。

現在大家都知道二次方程、三次方程，乃至四次方程，都有求根的解法公式。多年來，數學家一直在尋找一個類似的公式來求解五次或更高階的方程，但一直沒有成功，因為這種公式并不存在，從來沒有出現過。

第一個嘗試對這一現象進行有力證明的是意大利的數學家魯菲尼，但他的證明并不完備，他窮其一生都在試圖完善這一證明。第一個正确的證明，來自數學天才尼爾斯·亨利克·阿貝爾。他證明，五次及以上的方程是沒有求根公式的。而伽羅瓦則解釋了為什麼會出現這樣的結果，還把這一現象和對稱性聯系起來。這一證明可以追溯到拉格朗日，即任何物體，從宏觀到微觀的基本粒子，都具有對稱性。這種所謂對稱性在數學領域就被稱為群論。

直到20世紀初實體學家開始研究基本粒子，對稱性成為他們重要的研究依據。諾貝爾獎獲得者、粒子實體标準模型之父格拉肖說：“我不知道上帝是否存在，但如果他存在，那麼他一定知道群論。”

說到美和數學，赫爾曼·外爾說過：“我的作品總是試圖将真理和美結合起來，當我不得不做出選擇的時候，我通常選擇美麗的。美麗的，是我選擇的最高标準。”

愛因斯坦提出相對論以後，外爾寫了一篇有關統一場論的高品質數學論文，寄給了一本實體學雜志，普朗克是雜志編輯，寄給了愛因斯坦評審。愛因斯坦注意到這一模型的确有美麗之處，但實驗資料卻和理論模型有差異。愛因斯坦認為，模型是錯的。普朗克做了一件了不起的事情，在同一個專欄下同時發表了那篇論文和愛因斯坦的評審結論。10年後，當實體學家開始研究量子力學和規範不變性的時候，外爾的模型完美契合。是以，選擇美麗往往也是值得的。

數學這門“奇怪”的藝術，有着最實用的價值

那麼，數學家如何知道什麼是美？就像學藝術的學生通過聽貝多芬、莫紮特的作品知道這就是美，通過臨摹偉大藝術家的畫作培養自己的鑒賞力一樣，數學家也是從偉大的作品中學習美。

但是，億萬人都能欣賞到一幅美麗的畫中的圖景和美妙的音樂，能讀懂關于數論的論文的人數可能連10個都不到。那麼，數學是一門奇怪的藝術嗎？并非如此。數學是可以得到最好支援的藝術。

數學不僅美，還有其實用性。比如，伽羅瓦發明的有限域，現在用于衛星發射領域。另外一個例子是數學在密碼學中的應用。上世紀，如果有兩個将軍想密信交流，他們會共同确認一本很厚的書上的某一頁，該頁用于編碼。要破解這段代碼非常困難，當然編碼也非常困難。如今，你收發電子郵件時或者從ATM機取錢的時候，就在與網際網路或銀行進行密碼交換。因為這是數十億人的共用裝置，是以密碼必須頻繁更改，數學家想出了一個絕妙的新的方法，完全是基于伽羅瓦的有限域。

還有一個數學上的例子。1917年，奧地利科學家約翰·拉東發表了一篇論文，當時他已經是奧地利科學院的成員，他發現一種方法，可以通過直線的積分來推導出原函數。到1970年，科馬克和亨斯菲爾德發明了斷層掃描器(CT)并是以獲得諾貝爾科學獎。這一發明原理完全是基于伽羅瓦的群論和拉東的函數。X光照射人的大腦，取進入值和射出值，獲得一個密度積分，然後将直線密度積分進行計算以後可以得到大腦的一個圖像。當然，諾貝爾獎頒發的時候，如果拉東還活着，也可以分享這個諾貝爾獎。

在這多年以前、當我還是學生的時候，被告知真實的世界就是由實數和複數構成的。所謂有限域，伽羅瓦的一些理論、數論，隻有極少數的專業人士才會感興趣。但現在情況已經完全發生了改變。世界上所有的金融交易，其實都是基于這樣一個公式進行操作的。

比如，如何建立一個好的網絡？網際網路時代，從一點将資訊傳到另外一點，必須花費的時間很少，在網絡上走最短的路。第一個基于拉東理論的網絡是格雷戈裡·馬古利斯1980年建構的，利用群論以及泛函分析、以及數論中非常深刻的結論，建構了一個網絡。這個網絡被稱之為拉東測度圖像。這篇論文隻有3頁。這之後，馬古利斯也證明了其他的很多理論，得到了很多獎項，包括菲爾茲獎。但目前為止，他本人被引用最多的論文，還是那短短的3頁的論文。

數學被分為純數學和應用數學，是一種“不幸”

到20世紀早期，數學已經開始被改寫，無論是抽象的符号還是其他的一些抽象理念的發展，使得數學已經成為一個少數人才能了解的東西。現在的數學，已經被分成應用數學、純數學，這是很“不幸”的。沒有人會問歐拉或高斯，你究竟是理論數學家還是應用數學家，因為他們兩者其實都是。但現在，很多大學有純數學學院、應用數學學院。

但問題在于，如果你問伽羅瓦或拉東或馬古利斯，甚至知名的對沖基金創始人吉姆·西蒙斯說，你們到底是純數學家還是應用數學家？他們會告訴你，他們是純數學家。

吉姆·西蒙斯談到過，當他們聘請年輕的數學家的時候，不會問你們究竟是純數學家還是應用數學家，他們隻是需要聰明的大腦。

數學就像一株植物，各個部分都互相連接配接。如果你想把那些你覺得沒用的東西砍掉，而隻留下對人類有用的部分，那這個植物肯定會死亡。同樣的比喻，也可以用到數學上，每一個部分都不可缺少。

我們現在正在經曆的所謂資訊革命，就植根于數學、衍生于數學。對大資料而言，它對數學也帶來了巨大的影響和挑戰，其實這個問題以前都沒有得到充分的考慮。人工智能也好，機器學習也好，基因組學也好，甚至對消費者情緒的預測……這些領域也出現了同樣的問題和挑戰。因為現在我們出現了巨大的資料矩陣，這些矩陣太大了，甚至無法放到記憶體當中。我們知道矩陣是對它裡面的元素計算的一種方式，計算的是一種可能性，甚至我們不需要知道精确的一個值。

如果你想解決一些常見的問題，比如說方程組的問題，你可能希望更好的方法，而不是那種老舊的高斯消元法。但是在大資料時代，這些老的計算方法已經不能用了，這對數學是個巨大的挑戰和問題，可能這個問題會存在整個世紀。目前我們并不知道數學的哪個分支會最終幫助我們解決這個問題。也許，我們需要非常深刻的數學理論才能真正解決這一問題。

作者：埃菲·傑曼諾夫（作者為中科院外籍院士、美國科學院院士，菲爾茨獎獲得者，南方科技大學數學系傑出通路教授，此文來自複旦大學高等學術研究院）

編輯：儲舒婷