已知線段上某點與起點的距離，求該點的坐标

由起點和終點确定的線段，已知某點與起點的距離，求該點的坐标。

目錄

• 1. 概述
• 2. 實作

在實際進行空間幾何計算的時候，很難确定直線的方向向量，一般都是知道線段的起點\(O\)和終點\(E\)。那麼顯然方向向量為\(D=E-O\)。這時，根據射線的向量方程，線段上某一點P為：

\[P=O+tD

\]

很顯然，這個t值就确定了線段上\(P\)的位置。在方向向量由起止點确定，且點線上段内的情況下，t的取值範圍為0到1：取值為0時就是起點\(O\)，取值為1時就是終點\(E\)。進一步，根據相似三角形原則，如果知道\(P\)點與起點\(O\)的距離為d，則t的取值為：

\[t = \frac{d}{Mod(D)}

其中Mod(D)是向量的模，也就是線段的長度。

具體的C++實作代碼如下：

#include <iostream>

using namespace std;

// 2D Point
struct Vector2d
{
public:
	Vector2d()
	{
	}

	Vector2d(double dx, double dy)
	{
		x = dx;
		y = dy;
	}

	// 矢量指派
	void set(double dx, double dy)
	{
		x = dx;
		y = dy;
	}

	// 矢量相加
	Vector2d operator + (const Vector2d& v) const
	{
		return Vector2d(x + v.x, y + v.y);
	}

	// 矢量相減
	Vector2d operator - (const Vector2d& v) const
	{
		return Vector2d(x - v.x, y - v.y);
	}

	//矢量數乘
	Vector2d Scalar(double c) const
	{
		return Vector2d(c*x, c*y);
	}

	// 矢量點積
	double Dot(const Vector2d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y;
	}

	//向量的模
	double Mod() const
	{
		return sqrt(x * x + y * y);
	}

	double x, y;
};

void CalPointFromLineWithDistance(const Vector2d & O, const Vector2d & E, double d, Vector2d& P)
{
	Vector2d D = E - O;	
	double t = d / D.Mod();
	P = O + D.Scalar(t);
}

int main()
{
	Vector2d O(1.0, 2.4);
	Vector2d E(10.2, 11.5);
	double d = 5;
	Vector2d P;

	CalPointFromLineWithDistance(O, E, d, P);
	cout << "計算的點為：" << P.x<<'\t' << P.y << '\n'; 

	cout << "驗算距離是否為"<<d<<"：" <<(P-O).Mod()<< '\n';
}
           

運作結果如下所示：