本文節選自曹則賢著《磅礴為一—通才型學者的風範》，該書已由外語教學與研究出版社出版。新春福利~前往“返樸”公衆号，點選“在看”并發表您的感想至留言區，截至2022年2月9日中午12點，我們會選3條留言，每人贈書1本。
《磅礴為一——通才型學者的風範》 圖檔來源：羅會仟/攝影
撰文 | 曹則賢（中國科學院實體研究所）
The central conception of all modern theory in physics is “the Hamiltonian”
所有近代實體理論的中心構造是哈密頓量。
——Erwin Schr dinger
摘要 哈密頓， 愛爾蘭數學家、實體學家、神童、語言天才，癡迷詩與哲學。哈密頓3歲随叔叔學習， 13歲就掌握了歐洲的所有語言，15歲即研讀拉格朗日和拉普拉斯的力學，17歲起研究開始有成果，21歲大學未畢業時成為皇家天文學家、教授，30歲時獲爵士封号。哈密頓發展了新的光學理論和新的動力學理論，把力學和光學看成統一的學問；他把複數看成代數偶，發明了四元數，帶來了矢量分析。許多用哈密頓命名的内容成了近代實體的基礎，包括哈密頓原理、哈密頓量、哈密頓-雅可比方程，等等。
關鍵詞 射線系統，錐形折射，最小作用量原理，哈密頓動力學，哈密頓量，哈密頓-雅可比方程，代數，二進制數，四元數，矢量分析
1 引子
在實體學文獻中，出現頻次最高的名字是哪個？牛頓？愛因斯坦？我個人覺得是哈密頓。牛頓把他的姓氏Newton活成了力的機關，以及形容詞形式的Newtonian，出現在Newtonian mechanics（牛頓力學），Newtonian gravitation（牛頓引力），Newtonian absolute space and time（牛頓的絕對事件與絕對空間）等詞彙中。愛因斯坦的姓氏Einstein依然隻是個姓氏，人們談論相對論時會提及Einstein’s theory of relativity（愛因斯坦相對論）， Einstein tensor（愛因斯坦張量）。在他們兩位中間時代的哈密頓，不僅把姓氏Hamilton活成了Hamiltonian，且Hamiltonian 既是形容詞出現于Hamiltonian optics（哈密頓光學）等概念中, 還是個專有名詞。Hamiltonian作為名詞，漢譯哈密頓量。哈密頓量，不嚴格地說它對應系統的能量，是一個表達式、一個算符、一個量，是那種在實體學各個分支中，也許熱力學是個例外，總是随時會出現的實體學基礎概念。有沉迷于理論實體是以也就對理論實體不甚了了的人甚至宣稱世界就是個哈密頓量。據說，這個世界上任何時刻都有人在輸入Hamilton(ian)這個詞。
1865年，美洲大陸上誕生的新貴國家，美國，也設立了科學院。設立科學院的頭等大事，是從别的地方找真有學問的人作為外籍成員來擡高自己。美國科學院為自己圈定了15位最傑出的科學家作為它的外籍成員, 位列第一的就是哈密頓。哈密頓是他所處時代最偉大的科學家，這一點毫無疑問。哈密頓被譽為最富有想象力的數學家（the most imaginary mathematician）。如果計及曆史的因素，筆者還真未必肯把牛頓的成就置于哈密頓之上。當然了，時間是單向的，曆史性帶來的份量無法扣除，牛頓在自然科學方面的崇高地位是無法撼動的。對牛頓的地位心有不甘的，筆者讀到的隻有拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813），其曾言道“牛頓是最偉大的天才，也是最幸運的，畢竟隻有一個世界體系需要建立！”——愛因斯坦的文字裡沒有這樣的想法的流露。哈密頓也有資格發出拉格朗日式的感歎，但是我沒見到過。哈密頓對數學和實體的貢獻比牛頓多，在重要性上也未必稍有遜色。近世代數是可以和微積分相媲美的。
2 哈密頓小傳
威廉·羅文·哈密頓（Sir William Rowan Hamilton，1805-1865），愛爾蘭數學家、實體學家、天文學家（圖1）。哈密頓既是個純數學家，也研究實體學應用的數學，所謂的mathematics for physics，對光學、力學和代數都做出了奠基性貢獻。在哈密頓看來，光學是純粹的科學, 代數是純粹時間的科學。哈密頓将牛頓力學改造成了哈密頓力學，為了得到電磁學的代數他發展出了四元數，結果四元數構成了三維空間中轉動的恰當數學表述。四元數作為算符（operator）在六十年後才等來它的operand（作用對象），即所謂的spinor（旋量），旋量把量子力學提升到了一般研究量子力學的學者都不碰的層面。量子力學，請記住可稱它為波動力學，會在哈密頓那裡找到概念的源頭，那幾乎就是關于構造哈密頓量及求其本征函數的事業。
哈密頓1805年出生時，其父與母分别為27歲和25歲，正當壯年。哈密頓的父親是個小律師，但其叔叔詹姆斯（James Hamilton）畢業于都柏林三一學院，是一位古典學者，在家鄉的塔爾博特城堡（Talbots Castle）開辦一所學校。哈密頓3歲時開始跟叔叔一起生活，這讓他很早就接觸了學校，其不凡天分也就早為人所識。詹姆斯叔叔注意到小威廉具有傑出的語言天分，在他的悉心教導下，小威廉5歲就相當程度地掌握了拉丁語、希臘語和希伯來語，到13歲時已經學會了他能接觸到的所有語言，這包括所有的古典和現代歐洲語言，此外還有叙利亞語、波斯語、阿拉伯語、梵語，印度斯坦語（Hindustani，書面語為Hindi-Urdu, 印地-烏爾都語），甚至馬拉地語（一種印度北部印度-雅利安人說的語言）和馬來語。哈密頓一直保有超常的語言能力，即便到了晚年，他也依然能閱讀波斯或者阿拉伯語的東西自娛自樂。
圖1. 哈密頓爵士
關于哈密頓的語言學習經曆，有必要多羅嗦幾句。小威廉3歲時來到叔叔家，就開始讀英文聖經。詹姆斯叔叔認識到自己有個卓越的侄子，他教孩子拼寫的方法是梳理字典，單音節、雙音節、多音節，那些常人一輩子用不到的字也一樣要學。然後，小威廉依然還是3歲哈[1]，是古典語言的學習，先是希伯來語，接下來學拉丁語與希臘語，小威廉到8歲時能随時逮着大人飙大段的拉丁語演說詞。具體到底會到什麼程度，筆者無從知曉，無從判斷，也無力判斷。在小威廉13歲的時候，他爹吹牛說威廉除了所有的歐洲語言以外還會東方的那些語言，包括孟加拉語、叙利亞語之類的。他爹說，“他也要學中文，但是都柏林弄不到中文書啊！” 真難為天才的親爹了。小威廉跟他親爹一樣是善于顯擺的，但是詹姆斯叔叔很明智，他不讓小威廉去顯擺，他知道太多的贊許是鮮有聰明的孩子長大了還繼續聰明的原因。
1813年，8歲的小威廉接到了了人生的第一單重任。那一年美國計算神童科爾本（Zerah Colburn）到都柏林來顯擺，據說此人能20秒内算出4294967297的兩個素數因子[2]，小威廉奉命出戰，兩人比賽心算。年長一歲的美國來客明顯技高一籌，赢得了這場比賽。好強的小威廉覺得這是因為自己在語言學習上花費了太多的時間，他憤然決定在語言學習方面少花點兒時間，把騰出來的時間多花一點兒在數學上。一說這場比賽是在1818年，比較可信。反正這次相遇對哈密頓的影響很大，此後他腦子裡總喜歡計算。計算的習慣保持了一生。
哈密頓在13歲前是如何學數學的，記載很少，但是那時候他已經學習法國數學家克萊洛的《代數》一書了，并且拟了個題目A compendious treatise of algebra（代數綱要）來總結自己學習的心得。在學完了歐幾裡得幾何以後，1821年詹姆斯叔叔送給他一本解析幾何，這本書讓哈密頓把花在古典學上的注意力，或者說熱愛，轉移到了科學上。看看，最能展現早熟天才的領域：數學、音樂和語言，哈密頓三樣占了兩樣。據說哈密頓讀數學如讀小說（He could read mathematical treatises as one reads a novel），能夠在腦海中同所讀書籍的作者用同樣的詞彙對話（He could discourse in his mind on equal terms with the authors he read）。在數學方面，哈密頓優秀得令人發指，他善于深度抽象和繁瑣計算, 被譽為分析鑽頭（analytic borer）。
文科方面，除了古典學，威廉覺得自己在詩歌創作方面也非常優秀，他曾想過放棄科學去專心寫詩。他一生中交往過大詩人，給戀人寫過詩。在哈密頓的一生中，确實可見科學與詩是同一個創造精神的兩面。在1834年的on the general method of dynamics（論動力學的一般方法）一文中，哈密頓贊歎拉格朗日的天體力學就是科學之詩。
哈密頓15歲起開始學習牛頓力學和拉普拉斯的天體力學，他甚至指出了拉普拉斯天體力學一書中的一個錯誤[3]，引起了愛爾蘭皇家天文台的天文學家布林克雷（John Brinkley，1766-1835）的注意。1821年，16歲的哈密頓開始學微積分，用的是法國人的Le ons de calcul differential（微分教程）。1822年，哈密頓就寫了preliminary remarks on division（關于除法的初步論述），這為他發明四元數這一關鍵可除代數奠定了基礎（多少連高等數學都一天未學的人誤以為自己會除法啊！）。18歲那年，哈密頓進了都柏林的三一學院，學習數學和古典學，成績是爆棚分數（off-the-chart grades）。21歲大學還沒畢業時，哈密頓已經被任命為愛爾蘭皇家天文學家，成了安德魯天文學講席教授。哈密頓把家搬進了位于Dunsink的天文台，在那裡度過了一生。哈密頓在他那個時代被當作一個著名的天文學家，今天他在人們心目中是個實體學家、數學家，或者是數學實體學家。在這一年，布林克雷博士，哈密頓就是接替他的蘇格蘭皇家天文學家的位置的，指着哈密頓說：“This young man, I do not say will be, but is, the first mathematician of his age.（這個年輕人，不是說他會是，而是就是，他所處時代首屈一指的數學家。)”就這，人家還寫道：“The time I have given to science has been very small indeed; for I fear becoming again infatuated with it…（我花在科學上的時間其實很少，我怕我又為它着迷……)”
哈密頓是個有哲學氣質的人，熱愛抽象與理想, 會到康德的哲學裡去尋找代數的基礎。哈密頓宣稱他的科學靈感來自形而上的理想主義。Hamilton constantly tried to elevate himself to an ultramundane world（哈密頓一直努力要将自己提升到世俗之外的境界）。哈密頓信奉形而上的現實主義, 他是第一撥閱讀康德并将之當真的大不列颠科學家，他對康德的研究讓他相信超複數必然存在，也一定能構造出來, 因為康德認為數是從對時間的純粹直覺構造而來的。後來，他的成就證明他是對的。有人說，C’est une mine d’érudition（此人是個博學的礦藏）。
1835年，30歲的哈密頓獲得騎士封号，成了Sir William Rowan Hamilton。
哈密頓爵士的傳世之作包括：
1. Elements of Quaternions（四元數基礎），Longmans (1865)；
2. Lectures on Quaternions（四元數教程），Hodges and Smith (1853)；
3. On the Argument of Abel（論阿貝爾的論證）；
4. On Conjugate functions, or Algebraic couples（論共轭函數或者代數偶）；
5. On Equations of the Fifth Degree (論一進制五次方程)。
3 哈密頓的數理成就
哈密頓的成就，不好嚴格地區分是數學還是實體。哈密頓對實體學的貢獻展現在光學和力學領域。雖然他和法拉第、麥克斯韋是同時代人，但因為沒有研究實驗，故哈密頓對電磁學不太精通。哈密頓對光學和力學的貢獻本質上還是數學的，與變分原理有關，後來哈密頓動力學導向新的幾何學以及量子力學，更是其數學威力的展現。哈密頓後半生的精力集中在發明和闡述四元數上。
3a) 光學
哈密頓對光學的興趣發生在光的波動與顆粒說争論的頂峰時期。1824年-1827年哈密頓讀大學期間，關于光的本性的論戰在法國以波動說的勝利而終結，而在英國這個争論則剛開始。哈密頓以天文學家的身份開啟職業之旅，對光感興趣也是理所當然。1822年，17歲的哈密頓的出手所做的第一項工作是幾何，比如吻圓、代數曲線與面間的接觸、外展與包絡等，這自然就要研究線簇，進一步地就和光學的焦散線聯系上了。哈密頓寫過很多光學論文，但是日期不明，且是淩亂的手稿。1823年，哈密頓研究散焦線，1824年寫了on caustics 一文，緊接着向愛爾蘭科學院送出了論文the theory of systems of rays（射線系統理論），首次報告應該是在1827年。在這篇文章裡，哈密頓發展了新方法，這個方法後來被用到了動力學的研究。1827年，哈密頓發明了新的光學理論，可以用一個一般性的方法研究光學系統。該理論的一個關鍵概念是特征函數，一個光學系統可由一個特征函數描述。哈密頓一遍又一遍地重寫他的射線系統理論，不停地加入新的思考，這個過程一直持續到了1833年。射線系統理論是幾何光學的傑作，它本質上是數學，确切地說是幾何理論，無法兼顧光的波動特性。
1832年，哈密頓預言了雙軸晶體的光錐形折射現象（conical refraction），這個預言可與曆史上勒維耶 和亞當斯憑借計算預言海王星的存在相媲美。雙折射晶體是1818年布魯斯特發現的。哈密頓預言，一束準直的光進入雙折射晶體，當光沿着一個光軸傳播時，其折射的結果在晶體内是個光錐，出了晶體以後是一個空心的光柱，這是内錐形折射。哈密頓也設想到了可能存在外錐形折射（圖2）。錐形折射現象迅速被實驗證明，這讓哈密頓名聲大噪，并為他1835年赢得了皇家科學院的獎章。
圖2. 雙折射晶體裡的錐形折射現象。左圖為内錐形折射，右圖為外錐形折射。
3b).力學
力學才是實體學的基石。哈密頓從拉格朗日和拉普拉斯而非牛頓那裡開始學習力學。在哈密頓那裡，光學和力學是一回事兒。他發現一般力學系統的運動可以用描述光在非均勻媒體中傳播同樣的規律來描述（Hamilton discovered that the motion of a general mechanical system was governed by exactly the same laws as a ray of light propagated in an inhomogeneous medium）。1826年，年僅21歲的哈密頓認識到關于射線與軌迹之間的光學-力學完全類比，射線光學不僅能用于光學，還能用于力學。1834年，哈密頓把他的研究方法拓展入了力學，創立了描述粒子體系運動的一般方法，更一般，更抽象。哈密頓此項研究的目的是美學的而非實用的，在他那裡統一力學和光學不涉及任何新的概念，隻是形式上的統一。
哈密頓1834、1835年的兩篇同名論文On a General Method in Dynamics（論動力學的一般方法），主線是哈密頓原理，其實就是對最小作用量原理的發展，數學方法上則是變分法。在哈密頓那裡，作用量是拉格朗日量的時間積分，強調一下，拉格朗日量和拉格朗日方程都是哈密頓引入的。哈密頓的分析揭示了更深刻的數學結構，尤其是動量和位置之間的對偶關系。對變分原理、哈密頓動力學的詳細介紹超出作者的能力和本書的範圍，讀者請參閱相關的專業著作。
19世紀末，赫茲（Heinrich Hertz，1857-1894）批評了哈密頓的理論，指出其與光或物質的構成無關。哈密頓的理論可以用于力學與光學，但未必統一了它們。哈密頓的方法是數學方法，但不是實體理論。赫茲的論斷有曆史的局限性。哈密頓的特征函數概念提出60年後, 布朗斯（Ernst Heinrich Bruns，1848-1919）從哈密頓的力學特征函數往回得到了光學的特征函數，不過給弄成了幾何光學的光程函數方法（eikonal method of geometrical optics）。
雖然拉格朗日和哈密頓力學是為了分立系統建構的，但是對于連續體系的研究也适用，電磁學、量子力學、量子場論都采用哈密頓力學的表述。到了1920年代，索末菲（Arnold Sommerfeld, 1868-1951）在他的Atomic structure and spectral lines（原子結構與譜線）一書中更是高度贊揚了哈密頓的理論。哈密頓的動力學理論不僅适用于經典力學，也可用于量子力學，一點也沒有過時的迹象。哈密頓的理論是量子時代的基礎實體理論。索末菲等人1916年的文章将量子化條件同力學的偏微分方程聯系起來（link up the quantum conditions with the partial differential equations of mechanics）。至于波動力學的基本方程，即薛定谔方程，那就是按照熵公式S=klogW對哈密頓-雅可比方程的改造（參見拙著《量子力學-少年版》）。薛定谔雲: The hamiltonian principle has become the cornerstone of modern physics … his famous analogy between mechanics and optics virtually anticipated wave-mechanics（哈密頓原理是近代實體的基石……他關于力學與光學的著名類比實際上預示了波動力學的存在），誠非虛言。今日的實體學習者，對待哈密頓的學問，還是應該系統深入學習才是。
力學一門，始于亞裡士多德，由伽利略奠基為一門現代科學，牛頓賦予了力學以數學體系，自此有了成體系的力學，固有牛頓力學之說。牛頓力學，經拉格朗日力學而至哈密頓力學，由歐拉-拉格朗日方程、哈密頓-雅可比方程而到達高峰。再往後，經馬赫的批判，赫茲的重制表述，或者還有龐加萊、阿諾德等人的發展，力學都不再有新系統的出現，其後的理論實體皆以哈密頓力學為基礎。拉格朗日力學和哈密頓力學也是進入微分幾何、場論、量子力學等領域的門戶。學力學的人一定要弄清楚兩個問題：1)為什麼要從牛頓力學發展到拉格朗日力學？2)為什麼要從牛頓力學和拉格朗日力學發展到哈密頓力學？哈密頓力學的關鍵概念有那麼幾個，包括不變量方法（守恒律），正則變換，哈密頓-雅可比方程，作用量-角不變量，辛幾何，等等。
3c).四元數
哈密頓偉大成就之一在于認識到所謂的複數不過就是有代數結構的二進制數，或者叫代數偶（algebraic couple）。複數能表示二維空間裡的轉動，那麼是否存在一個數學對象能自然地表示三維空間裡的轉動呢？哈密頓想把他的代數偶的概念推廣到三重的情形（triplet）[4]。哈密頓發現不可能從微分方程出發建構triplet的數學理論（It is not possible to establish a theory of triplets from partial differential equations）。
為了構造他的triplet，哈密頓整整花了13年時間，期間多次放下又拾起（因為根本沒有與二進制數意義相仿的triplet），是數學與形而上的本能讓他堅信triplet的存在。三在哈密頓的生活與哲學中是個很難逾越的檻兒。他畢業于三一（trinity）學院，而trinity, 即聖父、聖子、聖靈的三位一體，是西方宗教的根本概念。三而一的思想，是根深蒂固的trinity的回響（One though three, an obvious echo of the trinity）。三分叙事（trichonomous logic）是西方文明的傳統。柯勒律治是對哈密頓影響很大的詩人。對柯勒律治來說，事分三重（triad）是基本的哲學，他的意志、思維與生活的三重存在同康德的把所有的認知手段都分成三重（triadic arrangement）（見于康德的《判斷力批判》）一脈相承。三重存在的思想也有見到勝利的地方。比如，麥克斯韋等人發展起來的顔色的三原色理論。顔色的三原色理論實際上是技術性的，不是科學，不具有數學的triplet所要求的嚴謹性。最重要的是，我們生活在三維實體空間裡，哈密頓要發明的是對應三維空間矢量的那種三重存在（triplet），包括三元數。追求mathematical triplets和metaphysical triads在哈密頓那裡是同時的、統一的事情。
哈密頓覺得四元數的标量項可能表示時間。我們知道後來的實體學就是這樣的，不過不是把時空簡單地表示成q=ct+xi+yj+zk這樣的四元數，而是寫成(x, y, z; ict)的樣子，将之了解為雙四元數（biquaternion）。這是後話。哈密頓曾撰文Algebra as the science of pure time（作為純粹時間之科學的代數），這個深刻的哲學思考是哈密頓的思想寶藏, 其對實體學發展的影響不可估量。
哈密頓本來就關注的是複數表示轉動的能力。四元數也具有表示轉動的能力，當四元數作為算子（operator）時，它作用的對象（operand）是旋量，在60年後才被發現。四元數是描述轉動的正确打開方式。相關的知識，希望大家有機會學學（參見拙著《雲端腳下》）。筆者當年學剛體力學的時候，書裡介紹的是轉動的歐拉角表示。歐拉角是曆史上引入描述剛體轉動的沒錯，但是歐拉角不唯一而且不構成群，是以它不是描述轉動的好選擇。當年讀比如狄拉克或者櫻井純的量子力學，看人家的轉動表示時一頭霧水，後來才明白人家對四元數熟悉得很。
哈密頓關于四元數的思想，見于他的兩本書，1853年的Lectures on the quaternions（四元數講義）和1866年的Elements of quaternions（四元數原本）。Lectures on quaternions太長、太艱澀，于是哈密頓決定寫個簡版的，但結果是越寫越多。Hamilton could not do justice to his own vision of quaternions，是啊，他本人是很難寫出自己心目中的四元數。直到哈密頓辭世以後，哈密頓所寫的關于四元數的内容才由其子Edwin Hamilton編輯成了巨著 Elements of quaternions，正文762頁，其中引言59頁。哈密頓對學問的态度由此可見一斑。這讓筆者想起了泡利的傳記 No time to be brief。關于哈密頓此人，也許他的傳記應該是No way to be brief。淺薄無聲是我們這些俗人的宿命；對于哈密頓這樣的巨擘，其思想的流淌波瀾壯闊。
4 多餘的話
天才是早早遇到好老師的普通人。哈密頓天賦異禀，但也是因為跟随學問大又懂教育的叔父長大的才有了後來的輝煌成就。如果跟着他那就會吹牛的父親長大，估計他也就是一個比一般人強一點的聰明人吧。
有成就的人須早有遠大的志向。1822年，17歲的哈密頓在緻妹妹愛麗莎的信中寫道：“多少世代的偉大頭腦合力在高處建立起了廣大而又美輪美奂的科學殿堂，用不可磨滅的文字在那裡刻上了他們的名字；但是這大廈尚未建成，想為其增磚添瓦一點兒也不晚。我還沒到達其腳下，但我渴望有一天會攀上頂峰。” 誦讀一遍這青春飛揚的句子, 怎不讓人豪情萬丈: Mighty minds in all ages have combined to rear upon a lofty eminence the vast and beautiful temple of science, and inscribed their names upon it in imperishable characters; but the edifice is not completed: it is not yet too late to add another pillar or another ornament. I have yet scarcely arrived at its foot, but I may aspire one day to reach its summit! 哈密頓要讓愛爾蘭在科學世界裡偉大（To make Ireland great in the scientific world），他做到了。古老的中華民族，也期待一個這樣的人。毛潤之先生有詩句雲：“為有犧牲多壯志，敢叫日月換新天”，中華的學子，當在少年時有攀登科學高峰的志向，也要有人早點指點給他們科學高峰之所在。
什麼是不同凡俗？筆者研究科學巨擘的時候，發現他們中的許多人都清楚地認識到了自己的不同凡俗。當哈密頓重拾熱情研究代數的時候，他寫道：“我有别于我的那些偉大的同時代者，我的同行兄弟們，不在于那些短暫的、偶然的事物，而是在于那些本質的、永恒的事物上，即在于我研究科學的整個精神與眼界上。”
不過，不要以為天才就備受上天眷顧，哈密頓這樣的絕世天才也不免遭人冷落。1824年還在上大學的時候，青春正當年的哈密頓向朋友的妹妹Catherine Disney求愛，遭拒，抑郁以至要自殺。1831年，26歲已名滿天下的哈密頓向一位詩人Aubrey De Vere的妹妹Ellen de Vere求婚，又遭拒[5]。兩年後，28歲的哈密頓才終于娶了Helen Marie Bayly，一位鄉下牧師的女兒，算是結婚成家了。中國人講成家立業，而且是三十而立，在天才哈密頓身上，立業遠在成家之前。哈密頓是個大智慧的人。再大智慧的人，一生中也有他獨有的魔障。Catherine Disney 和triplet，就是哈密頓心中的兩道坎兒，後面那道坎兒他憑着智慧越過了，世間從此有了四元數，而前面那道坎兒他終究沒能越過去。1853年，哈密頓捧着他終于寫成的Lectures on the quaternions來到了奄奄一息的Catherine Disney的病榻前，老淚縱橫。這個他19歲時一見鐘情、一生無緣卻又始終放不下的女人，以及構造出四元數之前為之花費了13年絕望歲月的triplet，這兩道坎兒是哈密頓這個偉大神童一生的主旋律。哈密頓的詩寫得不咋地（筆者總覺得英語不是詩的語言），但他确實有詩人的情懷。Hamilton was no Werther, and yet he felt like one inside（哈密頓不是維特，但他是個内心住着個維特的人）。
哈密頓是個創造者，思如泉湧。哈密頓一生中不停地寫，在筆記本上，碎紙片上，甚至寫在雞蛋殼上、自己的指甲上。1846年的Brougham 橋的傳奇簡直是應有之義。哈密頓去世後, 哈密頓的好朋友、數學家格萊烏斯收集了他的手稿。格萊烏斯還向哈密頓的親朋好友征集他的信件，最後編成了三大冊的Life and Letters，共2090頁。其後，在1968年和1974年，哈密頓的後人又在老家的閣樓裡找到了成筐的哈密頓的信件。
哈密頓是個完美主義者，對學問，自己的、别人的，都特别挑剔。有兩件事兒值得提起。其一，四元數具有廣泛的數學意義和實體意義，它首先指向一般意義的多元數（polyplets or set of numbers）。格萊烏斯在構造triplet的時代也是實踐者。在哈密頓發明四元數兩個月後，即1843年12月，格萊烏斯就發明了八元數。格萊烏斯把文章交給哈密頓審稿，就因為哈密頓是個出了名的完美主義者，這審稿時間拖得太長，結果八元數變成了凱萊數，因為1845年3月凱萊在英國的哲學雜志上率先發表了相關結果。哈密頓隻好向格萊烏斯道歉。這件事似乎未影響格萊烏斯對哈密頓的崇拜，在哈密頓辭世後依然是他主動整理了哈密頓的學術遺産，這在人類學術史上絕無僅有。其二，1835年，英國人傑拉德（George Birch Jerrard，1804-1863）送出了一篇文章，宣稱找到五次方程的一般解表示。哈密頓受命審閱這篇文章，因為他也長期研究一進制五次方程解的問題。哈密頓花了一個晚上給出了這篇論文的報告，認為這篇文章包含了很多聰明的數學，但是沒有提供一般解。下個月傑拉德幹脆宣稱找到了任意次方程的解，論文還是交由哈密頓審閱。哈密頓認為傑拉德的方法不能解五次方程，這當然基于他自己對五次方程的研究。在1836年5月31日這一天，哈密頓給傑拉德寫了一封124頁的長信，詳細闡明為什麼他給出負面結論。一天手寫124頁長的審稿意見，這個世界上大概不會出現第二回了。
哈密頓是罕有的詩人科學家，他年紀輕輕就認識到抽象與推廣比獲得具體的結果重要。他把力與運動的研究變成一個特征函數的研究，友善學問的統一與推廣，有利于人們一眼就能看透宇宙的奧秘（comprehending the universe at a single glance）。一個人很難在閱讀過哈密頓後不對他由衷地升起崇敬的心情。哈密頓曾寫道：“我，一個久在井底泥濘裡的掙紮者，确信我已經讓淤泥退後，一直在努力辨識多少（我撈起來的）料是來自智識的清泉，多少是來自物質世界的泥濘底色。”願虔誠的學人終有一日都能見識道什麼是智識的清泉。
深度閱讀
1. The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton, Cambridge University Press, , J.L. Synge (eds.)，vol. I (1931); A. W. Conway, &A. J. McConnell (eds.), vol.II, (1940); H. Halberstam, & R. E. Ingram(eds.), vol.III (1967); B. K. P. Scaife (ed.), vol. IV (2000).
2. Otto F. Fischer, Universal Mechanics and Hamilton's Quaternions, A Cavalcade (1951).
3. Shubham Dwivedi, Jonathan Herman, Lisa C. Jeffrey, Theo van den Hurk，Hamiltonian Group Actions and Equivariant Cohomology, Springer (2019).
4. Craig G. Fraser, Hamiltonian Dynamical Systems: History, Theory, and Applications, Springer (1995).
5. Jürgen Moser, Integrable Hamiltonian systems and spectral theory，Scuola normale superiore (1981).
6. Heinrich Bruns, Das Eikonal（光程函數）, Leipzig (1895).
注釋
[1] 個人觀點，任何一門語言的入門，半年時間都差不多了。也就是說，學校給學生開一門語言課，應以半年為限。剩下的，全靠自學與應用。
[2] 這個數是費馬數F5。費馬猜測形如Fn=22n+1形式的數都是素數。1732年，歐拉指出294967297=6416700417。筆者估計這個美國天才是背熟的結果。
[3] 沒找到具體指的什麼錯誤。看來隻能通過自己閱讀拉普拉斯的《天體力學》來發現了。
[4] 西文triplet可以用于各種場合表示三元素組成的集合，但是漢語翻譯總是将之具體化。此處為了減少失真，有時候會用西文表示。
[5] 我們這種又醜又平庸的男普通人，若26歲時還沒有戀人，難道不該心平氣和嗎？
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