新智元報道
編輯：LRS
【新智元導讀】243年前，歐拉留下著名的「三十六軍官」謎題，至今仍然未得到完善的證明。最近量子實體學家表示他們解決了這個未解之謎，隻不過要求軍官是量子态的!
1779 年，瑞士大名鼎鼎的數學家萊昂哈德 · 歐拉（Leonhard Euler）曾提出一個問題：即從不同的 6 個軍團（army regiment）各選 6 種不同軍階（rank）的 6 名軍官（officers）共 36 人，排成一個 6 行 6 列的方隊，使得各行各列的 6 名軍官恰好來自不同的軍團而且軍階各不相同，應如何排這個方隊？
如果用(1，1)表示來自第一個軍團具有第一種軍階的軍官，用(1，2)表示來自第一個軍團具有第二種軍階的軍官，用(6，6)表示來自第六個軍團具有第六種軍階的軍官，則歐拉的問題就是如何将這36個數對排成方陣，使得每行每列的數無論從第一個數看還是從第二個數看，都恰好是由1、2、3、4、5、6組成。
這個問題史稱為「三十六軍官問題」，在很長一段時間都沒有答案。
實際上當軍階和軍團數為5或7時，這個難題就變得非常容易解決，唯獨找不到三十六軍官的解決方案。
于是在1782年，歐拉表示：在費盡心思求解之後，雖然無法給出嚴格的證明，但不得不承認這種排列（将36名軍官以這種形式被排進6×6的方格中）是不可能的。
當時，歐拉證明了對于這個謎題來說，任何不是以4k+2的形式存在的軍團數和軍階，都存在解。他表示，他所采用的證明方法不适用于對這種形式的數字進行證明。
直到一個多世紀後的 1901 年，法國數學家加斯頓 · 塔裡（Gaston Tarry）證明，确實沒有辦法将歐拉的 36 名軍官排列在一個 6×6 的正方形中而不重複，他寫出了 6x6 正方形的所有可能排列，證明 36 個軍官問題是不可能的。
時間轉眼到了1960年，數學家借助計算機這個大殺器，數學家們證明：這個謎題對于任何大于2的軍團數和軍階數都存在解，唯獨除了6。
例如下圖中就展示了一個5×5的方陣，可以用5種不同等級和5種不同顔色的棋子填充，且在同一行或同一列不會存在重複的等級或顔色。
時間到了 1960 年，數學家們使用計算機證明了對于任何數量的軍階和軍團問題，都有解決方案，除了 6 個軍階和 6 個軍團。
遇事不決，量子力學
三十六軍官問題和「數獨」遊戲看起來十分相似，但在數學上對這兩類puzzle還有一個分類。
數獨是一種「拉丁方陣」，即方陣是一種由符号（數字和字母）構成的方陣，其中每個符号在每一行和每一列中隻出現一次。如果将兩個有着相同的大小但不同的符号的拉丁方陣組合在一起，就會得到一個希臘拉丁方陣，也稱為歐拉方陣，主要特點就是包含成對的符号。
是以如果三十六軍官問題的解存在，那一定會是一個6x6的希臘拉丁方陣，成對的屬性為軍階和軍團。
最近，《實體評論快報》上的一篇論文，來自印度理工學院（馬德拉斯理工學院校區）、雅蓋隆大學等機構的量子實體學家證明，采用量子力學的思路，就能夠以符合歐拉标準的方式把這36 名「量子版的軍官」安排到格子裡。
論文位址：https://arxiv.org/abs/2104.05122
在經典版本中，方陣中的每個格子都代表着一個有着明确軍階和軍團的軍官。
但在量子力學版本中，像電子這樣的粒子可以處于多種可能狀态的「疊加态」，量子版的軍官是由它的軍階和軍團的疊加構成的。例如，一個軍官可以是紅色的王和橙色的後的疊加。
最關鍵的是，組成了這些軍官的量子态存在糾纏關系。例如一個紅色的王與一個橙色的後糾纏在一起，那麼即使這個王和後同時處于多個軍團的疊加态，測量到王是紅色就能得知後是橙色。由于這種特殊的糾纏屬性，每一行或每一列上的軍官都可以是互相垂直的。
為了證明這種理論，研究人員需要建構一個被這些量子軍官填滿的6×6的方陣。由于存在大量的可能組合以及糾纏，是以他們必須借助量子計算機。
在方陣中，研究人員先要輸入一個這個謎題的經典版本的近似解。在這個近似解中，36個經典軍官的排列在一行或一列中隻存在少量的軍階和軍團重複。
接着，他們對這個解應用了一種能将這種排列調整為真正的量子解的算法。這個算法的工作原理有點像用蠻力解魔方——先固定第一行，然後固定第一列、第二列……當他們一遍又一遍地重複這個算法時，就可以越來越接近真正的解。
利用這種算法，他們最終得到了36軍官謎團的真正的解。在某種意義上，證明了歐拉對于36軍官謎題的判斷是「錯誤」的。
不過可以肯定的是，18世紀的歐拉是不可能想到軍官還能「量子化」的。
值得一提的是，新的解有一個特點，那就是軍官的軍階隻與相鄰等級糾纏，比如王與後、車與象、馬與兵，而軍團也隻與相鄰的兵團糾纏。并且在量子拉丁方格中的系數比率也是1.618，即著名的黃金比例。
當然了，243年來數學家并不是隻在追求一個puzzle的答案，該解決方案也被稱為絕對最大糾纏态 (AME，Absolutely Maximally Entangled state)，能夠解決關于量子對象的排列問題，在包括量子糾錯在内的許多應用都很重要，例如提供一種在量子計算機中存儲備援資訊的方式，這樣即使資料損壞，資訊也能儲存下來。
在 AME 中，量子對象的測量值也存在比較強的相關性。
以抛硬币來說，如果兩個人（A、B）抛糾纏硬币，其中 A 抛硬币并得到正面，那麼他定肯知道 Bob 是反面，反之亦然。兩枚硬币可以最大限度地糾纏在一起，三枚也可以，但四枚不行：如果有兩個人一起加入抛硬币，A 就永遠不知道 B 得到了什麼。
這篇論文的研究證明，如果你有一組四個量子糾纏在一起的骰子，而不是普通的硬币，那它們就可以被最大程度地糾纏在一起。六面骰子的排列解決方案就相當于 6×6 量子拉丁方陣。
由于這個解中存在黃金比例1.618，研究人員也将其稱為「黃金 AME」。
參考資料：
https://www.quantamagazine.org/eulers-243-year-old-impossible-puzzle-gets-a-quantum-solution-20220110/
https://m.huxiu.com/article/490056.html