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【原創】開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩

【原創】開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩

矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。線上性代數中,一個矩陣A的列秩是A的線性無關的縱列的極大數目。類似地,行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。矩陣的列秩和行秩總是相等的,是以它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A),rk(A)或rank A。矩陣的行秩與列秩相等,是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是,矩陣可以看作線性映射的變換矩陣,列秩為像空間的次元,行秩為非零原像空間的次元,是以列秩與行秩相等,即像空間的次元與非零原像空間的次元相等(這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間:原像空間)。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。矩陣秩的計算最容易的方式是高斯消去法,這裡引用維基百科的内容

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  上個月對Math.NET的基本使用進行了介紹,主要内容有矩陣,向量的相關操作,解析資料格式,數值積分,資料統計,相關函數,求解線性方程組以及随機數發生器的相關内容。這個月接着深入發掘Math.NET的各種功能,并對源代碼進行分析,使得大家可以盡可能的使用Math.NET在.NET平台下輕易的開發數學計算相關的,或者可以将其中的源碼快速移植到自己的系統中去(有時候并不需要所有的功能,隻需要其中的部分功能代碼),今天要介紹的是Math.NET中利用C#計算矩陣秩的功能。

  本文原文位址:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4304304.html

1.什麼是矩陣秩

  矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。線上性代數中,一個矩陣A的列秩是A的線性無關的縱列的極大數目。類似地,行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。矩陣的列秩和行秩總是相等的,是以它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A),rk(A)或rank A。矩陣的行秩與列秩相等,是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是,矩陣可以看作線性映射的變換矩陣,列秩為像空間的次元,行秩為非零原像空間的次元,是以列秩與行秩相等,即像空間的次元與非零原像空間的次元相等(這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間:原像空間)。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。矩陣秩的計算最容易的方式是高斯消去法,這裡引用維基百科的内容:

  計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯型矩陣,由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,是以A的行梯陣形式有同A一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。例如考慮4 × 4矩陣:
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我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍,而第4縱列等于第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的,是以A的秩是2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列A的行梯陣形式:
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  它有兩個非零的橫行。在應用在計算機上的浮點數的時候,基本高斯消去(LU分解)可能是不穩定的,應當使用秩啟示(revealing)分解。一個有效的替代者是奇異值分解(SVD),但還有更少代價的選擇,比如有支點(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據,實際選擇依賴于矩陣和應用二者。

http://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(線性代數)

  矩陣秩線上性代數中的應用還是很廣的,如計算線性方程組的解的數目等,下面就看一下Math.NET中對該過程的計算實作以及如何調用的例子。

2.Math.NET矩陣秩計算的實作

  Math.NET在對矩陣秩的計算過程中,和行列式的實作方式非常相似,也是把其作為矩陣計算的一個小部分功能,作為屬性添加在各個矩陣分解算法的抽象和實作類中,看一下其中一個Svd分解算法抽象,由于計算簡單,已經直接實作了秩的計算,繼承類可以直接使用,就夠了,其他的使用下面也和行列式類似。

1 internal abstract class Svd : Svd<float>
 2 {
 3     protected Svd(Vector<float> s, Matrix<float> u, Matrix<float> vt, bool vectorsComputed)
 4         : base(s, u, vt, vectorsComputed) { }
 5 
 6     /// <summary>計算矩陣秩</summary>
 7     /// <value>The number of non-negligible singular values.</value>
 8     public override int Rank
 9     {
10         get
11         {
12             return S.Count(t => !Math.Abs(t).AlmostEqual(0.0f));
13         }
14     }
15     public override double L2Norm
16     {
17         get{return Math.Abs(S[0]);}
18     }
19 
20     public override float ConditionNumber
21     {
22         get
23         {
24             var tmp = Math.Min(U.RowCount, VT.ColumnCount) - 1;
25             return Math.Abs(S[0]) / Math.Abs(S[tmp]);
26         }
27     }
28     /// <summary>計算行列式 </summary>
29     public override float Determinant
30     {
31         get
32         {
33             if (U.RowCount != VT.ColumnCount)
34             {
35                 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSquare);
36             }
37 
38             var det = 1.0;
39             foreach (var value in S)
40             {
41                 det *= value;
42                 if (Math.Abs(value).AlmostEqual(0.0f))
43                 {
44                     return 0;
45                 }
46             }
47             return Convert.ToSingle(Math.Abs(det));
48         }
49     }
50 }      

3.Math.NET計算矩陣秩的代碼

  上述過程和原理隻是便于大家了解其實作過程,下面簡單示範一下在Math.NET中計算矩陣秩的過程,就是直接調用計算即可。

1 // 格式設定
 2 var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone();
 3 formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " ";
 4 
 5 //建立一個随機的矩陣
 6 var matrix = new DenseMatrix(5);
 7 var rnd = new Random(1); 
 8 for (var i = 0; i < matrix.RowCount; i++)
 9 {
10     for (var j = 0; j < matrix.ColumnCount; j++)
11     {
12         matrix[i, j] = rnd.NextDouble();
13     }
14 }
15 
16 Console.WriteLine(@"Initial matrix");
17 Console.WriteLine(matrix.ToString("#0.00\t", formatProvider));
18 Console.WriteLine();
19 //1. 秩
20 Console.WriteLine(@"矩陣秩計算結果為:");
21 Console.WriteLine(matrix.Rank());
22 Console.WriteLine();      

結果如下:

1 Initial matrix
 2 DenseMatrix 5x5-Double
 3 0.25      0.11    0.47    0.77    0.66
 4 0.43      0.35    0.94    0.10    0.64
 5 0.03      0.25    0.32    0.99    0.68
 6 0.65      0.28    0.62    0.70    0.70
 7 0.95      0.09    0.16    0.38    0.80
 8 
 9 
10 矩陣秩計算結果為:
11 5      

4.資源

  包括源代碼以及案例都可以去官網下載下傳,下載下傳位址本系列文章的目錄中第一篇文章:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html,有介紹。由于源碼很大,如果找不到相應的案例,可以進行搜尋,可以比較快的找到相應的代碼。

.NET資料挖掘與機器學習,作者部落格:

http://www.cnblogs.com/asxinyu

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