矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性無關的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。矩陣的列秩和行秩總是相等的，是以它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是，矩陣可以看作線性映射的變換矩陣，列秩為像空間的次元，行秩為非零原像空間的次元，是以列秩與行秩相等，即像空間的次元與非零原像空間的次元相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。矩陣秩的計算最容易的方式是高斯消去法，這裡引用維基百科的内容
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上個月對Math.NET的基本使用進行了介紹，主要内容有矩陣，向量的相關操作，解析資料格式，數值積分，資料統計，相關函數，求解線性方程組以及随機數發生器的相關内容。這個月接着深入發掘Math.NET的各種功能，并對源代碼進行分析，使得大家可以盡可能的使用Math.NET在.NET平台下輕易的開發數學計算相關的，或者可以将其中的源碼快速移植到自己的系統中去(有時候并不需要所有的功能，隻需要其中的部分功能代碼)，今天要介紹的是Math.NET中利用C#計算矩陣秩的功能。
本文原文位址：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4304304.html
1.什麼是矩陣秩
矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性無關的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。矩陣的列秩和行秩總是相等的，是以它們可以簡單地稱作矩陣A的秩。通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分. 其基本證明思路是，矩陣可以看作線性映射的變換矩陣，列秩為像空間的次元，行秩為非零原像空間的次元，是以列秩與行秩相等，即像空間的次元與非零原像空間的次元相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。矩陣秩的計算最容易的方式是高斯消去法，這裡引用維基百科的内容：
計算矩陣A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯型矩陣，由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，是以A的行梯陣形式有同A一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。例如考慮4 × 4矩陣：我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍，而第4縱列等于第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的，是以A的秩是2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列A的行梯陣形式:
【原創】開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩 【原創】開源Math.NET基礎數學類庫使用(16)C#計算矩陣秩 它有兩個非零的橫行。在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解（SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴于矩陣和應用二者。
http://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(線性代數)
矩陣秩線上性代數中的應用還是很廣的，如計算線性方程組的解的數目等，下面就看一下Math.NET中對該過程的計算實作以及如何調用的例子。
2.Math.NET矩陣秩計算的實作
Math.NET在對矩陣秩的計算過程中，和行列式的實作方式非常相似，也是把其作為矩陣計算的一個小部分功能，作為屬性添加在各個矩陣分解算法的抽象和實作類中，看一下其中一個Svd分解算法抽象，由于計算簡單，已經直接實作了秩的計算，繼承類可以直接使用，就夠了，其他的使用下面也和行列式類似。
1 internal abstract class Svd : Svd<float>
2 {
3 protected Svd(Vector<float> s, Matrix<float> u, Matrix<float> vt, bool vectorsComputed)
4 : base(s, u, vt, vectorsComputed) { }
5
6 /// <summary>計算矩陣秩</summary>
7 /// <value>The number of non-negligible singular values.</value>
8 public override int Rank
9 {
10 get
11 {
12 return S.Count(t => !Math.Abs(t).AlmostEqual(0.0f));
13 }
14 }
15 public override double L2Norm
16 {
17 get{return Math.Abs(S[0]);}
18 }
19
20 public override float ConditionNumber
21 {
22 get
23 {
24 var tmp = Math.Min(U.RowCount, VT.ColumnCount) - 1;
25 return Math.Abs(S[0]) / Math.Abs(S[tmp]);
26 }
27 }
28 /// <summary>計算行列式 </summary>
29 public override float Determinant
30 {
31 get
32 {
33 if (U.RowCount != VT.ColumnCount)
34 {
35 throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSquare);
36 }
37
38 var det = 1.0;
39 foreach (var value in S)
40 {
41 det *= value;
42 if (Math.Abs(value).AlmostEqual(0.0f))
43 {
44 return 0;
45 }
46 }
47 return Convert.ToSingle(Math.Abs(det));
48 }
49 }
50 } 3.Math.NET計算矩陣秩的代碼
上述過程和原理隻是便于大家了解其實作過程，下面簡單示範一下在Math.NET中計算矩陣秩的過程，就是直接調用計算即可。
1 // 格式設定
2 var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone();
3 formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " ";
4
5 //建立一個随機的矩陣
6 var matrix = new DenseMatrix(5);
7 var rnd = new Random(1);
8 for (var i = 0; i < matrix.RowCount; i++)
9 {
10 for (var j = 0; j < matrix.ColumnCount; j++)
11 {
12 matrix[i, j] = rnd.NextDouble();
13 }
14 }
15
16 Console.WriteLine(@"Initial matrix");
17 Console.WriteLine(matrix.ToString("#0.00\t", formatProvider));
18 Console.WriteLine();
19 //1. 秩
20 Console.WriteLine(@"矩陣秩計算結果為：");
21 Console.WriteLine(matrix.Rank());
22 Console.WriteLine(); 結果如下：
1 Initial matrix
2 DenseMatrix 5x5-Double
3 0.25 0.11 0.47 0.77 0.66
4 0.43 0.35 0.94 0.10 0.64
5 0.03 0.25 0.32 0.99 0.68
6 0.65 0.28 0.62 0.70 0.70
7 0.95 0.09 0.16 0.38 0.80
8
9
10 矩陣秩計算結果為：
11 5 4.資源
包括源代碼以及案例都可以去官網下載下傳，下載下傳位址本系列文章的目錄中第一篇文章:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html,有介紹。由于源碼很大，如果找不到相應的案例，可以進行搜尋，可以比較快的找到相應的代碼。
.NET資料挖掘與機器學習，作者部落格:
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