【随機過程】随機過程之更新過程(2)

【随機過程】随機過程之更新過程(2)

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說明：關于更新過程，内容也不少，但是核心的知識點也隻有幾個，通過一個主要的例子，将大部分重要的概念加以梳理，會是一個很好的了解的方法。

與蔔瓦松過程一樣，幾個重要概念無外乎Xi，Sn，N(t)。Xi在蔔瓦松過程中是到達時間間隔（且服從指數為λ的指數分布），而在更新過程中是非負的獨立同分布随機變量，相當于更新過程中一個個更新元件的壽命，而Sn是第n次更新發生的時刻，在蔔瓦松過程中是第n件事情到達時刻。最後N(t)表示的是到t時刻為止，已經發生的更新次數。

已知Xi的分布，根據求和式，可以通過n重卷積得到Sn的機率分布，然後根據Sn與N(t)之間的關系，去計算N(t)的機率分布。而通常在更新理論中，人們常關心的是系統的平均更新次數M(t)=E(N(t))。從上面分析的，可以得到平均更新次數M(t)，被稱之為更新函數。更新函數自然有自己的一些特性，比如更新函數與分布函數互相唯一确定。

下面引入了更新方程和更新定理。然後說更新函數M(t)也滿足更新定理，這樣就建立起了更新函數和分布函數之間的關系，這個關系就由更新方程決定。

後又引入停時的概念，所謂一個序列的停時（取值為正整數n），指的就是隻與前n個序列有關，而與之後n+1等沒有關系。主要是為了推出一個瓦爾德方程，說得是X1,...獨立同分布，且期望有限，T是該序列的一個停時，且期望有限，那麼滿足一下公式：

E(ΣTn=1XT)=ET×EX1

據此推出了SN(t)+1的期望與更新函數之間的關系如下：

E(SN(t)+1)=E(X1+...+XN(t)+1)=EX1E[N(t)+1]=μ(M(t)+1)

那麼有初等更新定理：

μ=EXn，則limt−>∞M(t)t=1μ

定理表明：機關時間内期望更新次數等于平均更新時間的導數。

又提到格點分布，所謂格點分布，指的是X隻存在一些周期nd的位置上，但并不是說所有的nd都一一取到。而最大的d被稱為格點分布的周期。

Blackwell更新定理：μ=EXn，平均更新時間。

如果F不是格點分布，那麼都有：

limt−>∞M(t+a)−M(t)=aμ

如果F為周期為d的格點分布，那麼都有：

limn−>∞P(在nd處發生的更新)=dμ

看看這個定理有何直覺上的意義吧：

在遠離原點的某長度為a的區間内，更新次數的期望為aμ，即1μ可視為長時間後更新過程發生的平均速率。當F為格點分布，由于更新隻能發生在nd時刻，是以，更新次數的多少依賴于區間上形如nd的點的數目。

這樣，結合更新方程，便有了關鍵更新定理，主要是說明更新方程的解的極限的取值情況。這裡不想細說，因為并不是太懂。

【交替更新過程】一個系統，工作壽命為X1，發生故障後修理，修理時間為Y1，修複後工作壽命為X2，然後再次發生故障後的修理時間為Y2，…。假定Xn獨立同分布F，Yn獨立同分布G，互相獨立，記H=F*G為X1+Y1的分布函數，且期望有限，H不是格點分布，則可以證明：當t趨于無窮大時，系統在t時工作的機率等于E[X1]/(E[X1]+E[Y1])，而系統在t時維修的機率為E[Y1]/(E[X1]+E[Y1])Y。

剛好寫成關鍵更新定理，就能證明。

另一個例子：

元件的剩餘壽命和年齡的極限分布。也可以通過關鍵更新定理加以證明。

這兩個例子中的證明方法都采用了關鍵更新定理，而且是一個非常常用的技巧，就是先關于某次更新（一般為第一次更新或t時刻前最後一次更新）取條件，得到一個更新方程，再利用更新方程解的定理和關鍵更新定理。

上面所講的那個交替更新過程；

延遲更新過程，指的是放寬對X1的要求，允許它服從别的分布，而X2…之後的獨立同分布。主要用在再觀察開始時第一個零件已經用了一段時間了，這個時候它的分布已經不再跟新的一樣了。

更新回報過程主要跟複合蔔瓦松過程一樣，想一下那個超市營業額的模組化問題，主要是更新次數，以及每次更新都有一定的回報，或者是利潤。更新回報定理說的是回報率以機率1趨向于ER1/EX1。

終止過程，非常返的更新過程。非常返在馬爾科夫過程中會講到。

2015-11-02 聽課筆記 張朋藝