这篇文章是"第三届数学文化论文比赛"。
《走近杨辉揭秘三角》课堂成绩单
作者：何平
工作编号：057
一、温馨新
老师：同学们，我们回想起之前学过的多项式和多项式乘法算法。
Sheng（全部）：多项式和多项式相乘：多项式和多项式相乘，将一个多项式的每个项乘以另一个多项式的每个项，然后将得到的乘积相加。（PPT显示）
老师：同学们刚刚回答了多项式和多项式乘法算法对文本语言的描述，我们初中阶段讲究的是文本语言、图形语言和符号语言三种语言，那么它对应的符号语言是什么呢？
原始（全部）:(a-b）（m-n）-am-an-bm-bn（PPT显示）
老师：在学习了乘法和多项式乘法之后，我们学到了哪些特殊的公式？
原始 1：全平方公式
原始2：平方差公式。
老师：这两种公式都很重要，学生可以用符号语言来表达完整的方形公式吗？
（全部）： .
"设计意图"在指导学生计算（a-b）高幂的基础上，通过多项式算法复习多项式乘法，为提取展开系数做好铺路。
二、新知识探索
活动1：
老师：上课前，请学生完成预览，然后我们一起校对。
（预计学生作品）投影案例内容：
1.使用整个公式的乘法公式计算（结果按从大到小的倍数顺序排列）
老师：第一个问题要求学生根据a的掉电安排写下、、、（a-b≠0）的展开。
学生完成成绩：
投影：
2. 逐行写出上一个问题中的扩展系数。
1号线：1
第 2 行： 1 1
第 3 行： 1 2 1
第 4 行： 1 3 3 1
第 5 行： 1 4 6 4 1
第 6 行： 1 5 10 10 5 1
第 7 行： 1 6 15 20 15 6 1
老师：学生们做得很好！让我们用完成的扩展因子填写下表。
PPT显示：
分部：我们给这些展开系数拍一张照片，形成一个大的照片变化。
老师：像这样的数字会形成什么图形？
原始（全部）：三角形，等腰三角形。
师：很好，这些数字构成的图是一个三角形，我们把这个三角形系数表称为杨辉三角形。
"设计意向"通过学生自拍计算，实际操作得到膨胀系数，将膨胀系数变化形成，只需形成一个三角形系数表，从"形状"的角度，露出阳辉三角形的第一层面纱。
活动2：
老师：同学们，你们能继续写、、、...、膨胀系数吗？
原始 1：是的！我们可以继续用多项式乘法算法。
老师：同学们，过去用n型解决问题，怎么解决？
学生2：根据题目情况比较简单，逐步推导，写定律，总结概括规律，写第n个案例。
老师：那太好了！所以我们要求膨胀系数不能用类比，根据现有的、、、、、、（a-b≠0）膨胀系数，即对现有的杨辉三角形数据进行探索规律，从而得到按规律的膨胀系数。
老师：接下来，让学生观察杨慧三角，寻找规律。
（给学生足够的时间去思考、讨论、交流、总结）
盛3：杨辉三角形两边都是1。
4：每个数字等于头顶两个数字的总和。
老师：很好，学生观察羊晖三角最重要、最基本的规律。
董事会绩效：法律1.两个肩膀和。
老师：同学们，还有什么其他规则？这个形状是什么样子的？
原始5：三角形！
原始6：等腰三角形！
老师：非常好。这些数字构成了一个可以被认为是等腰三角形的图形，等腰三角形的本质是什么？
原始 7：等腰三角形是轴对称形状。
老师：太好了！等腰三角形是最典型的轴对称图形，：对称轴？
原始 8：中间的数字列。
除法：我们可以发现画的是对称轴，奇线是数字的中间，偶数线的中间是空白的，两个数字的"相等距离"的第一端和最后两端相等。因此，我们现在从"形状"的角度找到杨辉三角形的第二定律。
董事会绩效：法律2。对称。
老师：在上面的活动中，我们从"数"的角度来看待杨辉三角形数和数的关系，那么一部分数的整体呢？例如，杨辉三角形中的线数加起来，有什么特点？（给学生足够的时间计算）
Raw 9：计算后发现每行的总和与 2 的高次级边有关。例如，第二行和2，第三行和4，第三行和8，第四行和16，第五行和32，第六行和64，这些数字正是2的幂。
老师：同学们回答得很好，老师和同学们一起写。
（黑板上有黑板）
董事会绩效：法律3。
定律1之美：杨辉三角形中的两条斜边由数字1组成，每个数字都是肩上两个数字之和。
定律之美2：等于第一个和最后一个末尾的两个"相等距离"的数，阳辉三角形具有对称性。
定律之美3：阳辉三角形n行n数之和等于2的n-1次方。
"设计意向"突出了以学生为主体的课堂模式，引导学生独立观察杨辉三角数表，直观感受数的规律，学生通过探索总结汇总数之间的关系。从"数"和"形"的角度分析杨辉三角形数表后，引导学生从整体角度看杨辉三角形数表，即"水平"计算杨辉三角形数表之和，并寻找规律。同时，为后续从"坡"观察阳辉三角的规律下笔。
老师：通过以上活动，我们看横看，纵向看规律，现在我们看歪斜，请同学们观察斜线有没有特点？
Raw 10：将左侧的一串数字向下添加，这等于右下角的数字。
原始 11：对！右侧的一串数字相加等于左下角的数字。
老师：同学们发现得太快了！
板材性能：斜线和。
定律之美4：从阳辉三角形中一定数量的"左（右）肩"开始，在左斜上方的右（左）做一条平行的射线，这条射线上的数字之和等于这个数字。
分界：从以上4条定律、不同方向、不同角度看扬辉三角，"穿越山脊一侧入峰，远近高低不一"，在杨辉三角展现得淋漓尽致，杨辉三角实在太美了！
老师：现在老师带领同学们，一起继续感受杨慧三角的魅力。要求学生将老师标记的每条斜线相加，观察和表征。
出生12：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13...
老师：这一系列数字有什么特点，看起来一团糟？
生的13：成长。
老师：是的，有什么特别的规定吗？
原始 14：每个数字是前两个数字的总和。
老师：太好了！从第三个数字开始，任一数字等于前两个数字的总和，即著名的斐波那契级数，即兔子数列。
董事会绩效：法律5。斐波那契级数。
定律之美5：斜看阳辉三角形中数字之和，从第三个数字开始，任一数字等于前两个数字之和。
斐波那契级数是数学文化史上一个非常有趣的代表例子，值得推广和学习，从而引出了斐波那契发现兔子级数的规律。
分部：接下来，让我们来看看有趣的斐波那契数列。
中世纪意大利数学家斐波那契的传记《算术定律》提出了一个有趣的问题：假设一对新生的兔子可以在一个月内长成大兔子，然后在一个月内开始生下一对兔子，此后每个月生一对兔子。这些兔子既是雄性又是雌性，没有死亡。Q 一年可以繁殖多少对新生的兔子？（图1）
图 1
兔子育种的问题也可以从杨辉三角来回答：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
设计意图：通过解释斐波那契级数的起源，引导学生认识到数学来自应用于数学的生命价值。同时，数学家斐波那契热爱生命，善于观察生命，并记录生活中的现象留下宝贵的精神财富，引导学生树立研究学习的观念，渗透数学建模思想。
老师：杨辉三角除了我们发现的5定律外，还有一些神秘的规律，课后要挖掘，学生进入高中阶段就可以继续学习了。
三、时间列车
老师：同学们，我们了解了杨辉三角这么多固有的规律，发现杨辉三角不仅神秘，而且非常美丽，那么有趣的杨辉三角是谁首先发现的呢？它是如何发展的？让我们以微课堂的形式走进杨辉三角，了解其背后的故事，揭开它的奥秘。
微类演示：
（以《阿尔卑斯流水》为背景音乐，杨辉三角数学史的起源和发展来自于道路）
首先是古代数学家贾贤，十一世纪上半叶（北宋）中国杰出的数学家。他写过《黄帝九章算法精草》（九卷）和《算法古集》（两卷），都已遗失。据宋史记，贾贤贤从数学家楚岩学习天文学、历法计算，著有《黄帝九章算法精草》、《释放锁计算书》等书籍。贾贤的主要贡献是创造了"贾贤三角"和"乘数法"。
然后介绍这节课的主角——出生于南宋的古代数学家杨辉，1261年《详细的九章算法》一书中，记录了一个三角形的数字表，称为"公开实践源"的图（图2），并解释说该表引用于11世纪中叶（约公元1050年）。贾贤的"释放锁算术"，并画出了"古代七方图"。杨辉在《详细解读九章算法》、《开源实践源》一章的贾贤开方练习图中，并解释说"发布锁算术后，贾贤采用了这种技术"。
图 2
法国著名数学家、物理学家和哲学家帕斯卡在13岁（1654年）时发现了这种模式，因此该表也被称为帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉晚了393年，比贾贤晚了600年。帕斯卡于1665年出版了《论算术三角形》，其中谈到了"算术三角形"的结构和性质，是第一个通过数学归纳证明其本质的人。
意大利数学家塔尔塔利亚（Tartalia）比帕斯卡早100多年发现它，比贾桑晚了大约500年。
最后，同学们熟悉了现代数学家华罗轩的名言作为结论："数学是我们人擅长的学科。我们祖国的伟大人民在人类历史上取得了伟大的成就。"
《设计意向》描述了贾贤、杨辉在取得成就的同时，详细介绍了杨慧三角，并讲述了今天对杨慧三角的认知，其实是贾贤首先发现了这种神秘的数学知识，一种美丽的误解，充满了对数学文化的兴趣，激发了学生的学习兴趣。同时，这种类比引出了西方国家杨辉三角的历史事实，充分展示了中国古代数学家的辉煌成就，激发了学生的民族自豪感，树立了学好数学知识的信念。
老师：同学们，我们坐时间训练，了解杨辉三角的起源和发展，感受我们民族在数学文化的长河中取得了巨大的成就，我们应该更有信心学习数学，继承和发扬我们的数学优势！
四、古今用
老师：同学们，杨辉三角真是太美妙了，它的使用肯定不仅限于养兔问题，在生活中经常可以用杨辉三角解决实际问题，请同学们看看这个问题。
"横截面路线图"是数学中一个有趣的问题。下图3是一个城市的三条道路的部分街道地图，如果从A到B（只从北到南，从西到东），有多少种不同的路要走？
"设计意图"通过生活中有趣的问题，激发学生思考，动手实践，头脑风暴，学生得出结论。
老师：考完后，请您想一想，您能得到几条不同的路吗？
1：5种。
2：6种。
老师：嗯，我问学生用5种答案到黑板上演示，答案6种学生以后可以加答案。
现场在舞台上进行演示。（一位同学演示5种情况后，另一位同学上台加1例）
老师：经过两个学生的练习，我们发现答案是6。
除法：图3将图形顺时针方向转动45度，使A正上方，B正下方，然后在交叉处标记相应的杨辉三角形数。B处的杨辉三角形数与A-B方法有什么关系？
学生3：B的相应数字6正是答案6。
老师：同学们想，这其中可能隐藏着什么秘密？
盛4：每个交点处的杨辉三角形数是从A到达点的方法数。
老师：太好了！我们发现，原有生活的路线问题和杨辉三角有关，这个结论太赞了！
"设计意向"将路线问题的现实生活，借助杨辉三角知识问题解决，自然过渡到本课学习新知识，体现杨辉三角的应用价值。
变体：垂直路线图是数学中一个有趣的问题。下图5是一个城市的五条道路的部分街道地图，如果你从A到B（只从北到南，从西到东），有多少种不同的路可以走？
老师：我们将主题三条路分成五条路，学生课后可以尝试。老师用杨慧三角试着给同学们看，我们找了70种。
分部：原来，杨辉三角与横截面路线图问题有着天然的联系，由此可见，杨辉三角在生活中无处不在，使用价值相当高。
"设计意图"变体使用相同的方法，在杨辉三角形图7的帮助下，将路线图转换为图6。用学生旅行的经验，激发学生对这个问题的兴趣，思考答案，手绘结论。
五、提高思维能力
老师：杨辉三角不是纯粹的欣赏，在考试中，是不会有杨辉三角试题吗？现在高中喜欢把数学家们聚集在一起忙碌起来，所以杨辉三角也是高中考试题的VIP常客。接下来，让学生欣赏这个问题：
（2006年日照市场中试量问题17）德国数学家莱布尼茨发现了以下单位分数三角形（单位分数是分子1的分数和正整数的分母）：
根据前5行定律，可以看到6行数为：。
老师：同学们，看到这个问题的第一感觉，反应是什么？
盛1：杨辉三角形，形状像。
老师：太好了！看起来有点像，不是吗？我们来看看这个数字表的内部部分，每个数字都是一样的吗？
学生 2：数字相同，但每个数字都不同。
老师：很好，只要相似，我们可以用类比来解决。我们现在要找到相同和不同的，学生们发现了什么？
出生3：数字都是分数，分子是1。
老师：既然都是1，我们该怎么办？
学生4：先摆脱1。
老师：非常好！然后数字是一样的吗？
出生5：分母似乎具有规律性和对称性。
老师：然后呢？
盛6：可以认为是变形的杨辉三角形。
老师：它是如何改变的？
7：除去分子1后，分母数从1，2，3，4，5开始，而杨辉三角形从1，1，1，1，1.1开始。
老师：我们能做些什么呢？
Raw 8：您可以将每行除以行数。
老师：太好了！
分部：通过这两个步骤的变形，得到熟悉的杨辉三角形。根据今天学到的法律，第6行的数字是多少？
阳辉三角形的第六行数是1、5、10、10、5、1，再乘以行数到6、30、60、60、30、6，6，然后倒计时。
"设计意图"借助这个问题引导学生理解杨辉三角形在考试中可能出现的形式，同时引导学生掌握类比思维和转换方法。帮助学生先观察题中单元分数三角形，并逐步引导寻找单元分数三角形与杨辉三角形之间的差异，逐层深入分析，找出规律，用杨辉三角形的知识来解决这个问题。
六、课堂总结
老师：同学们，今天我们通过阅读杨辉三角的故事，感受杨辉三角的内在奥秘，体验数学文化的乐趣，欣赏数学文化的美，被数学文化的魅力深深淹没。同学们带着民族自豪感，大步向前，继续探索数学的奥秘！
七、工作设计
1.查看杨辉三角相关信息。
2.回顾和巩固杨辉三角定律。
八、板书设计
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