1. 模型提出背景
FM解决的是预测性问题。也就是说给定输入值，给出输出值。但是针对预测性问题的解决，目前有较多的模型可以用，针对factorization machine这篇文章，作者主要是抓住FM和支持向量机的优劣比较，支持向量机最终是解决数值优化问题，如果自变量是稠密的，那么使用支持向量机是有较大优势的。但是如果自变量有较多的类别变量（指示变量），从而导致数据比较稀疏，也就是说一个样本点的输入多数都是零，这种情况在推荐系统中有较多，这时候支持向量机的劣势就体现出来了。那么就出现了如何解决输入比较稀疏时的预测性问题。
2.例子描述
首先我们借用factorization machine中的例子，因为本人也是从事推荐系统相关工作，也比较喜欢这个例子。
上述描述性数据，其中S表示事务型数据，我们把转换成符号型数据，每条记录表示一个事务
首先上图中蓝框中的数据表示用户信息，是指示型数据，表示一条记录中的用户，蓝框中的第一列表示是否是用户A，第二列表示是否是用户B等等。橘红色框表示这个事务中用户看的是那部电影，橘红框中的每条记录只有一个是1，其他的都为零。黄色框中表示用户都对哪些电影评过分，比如A对TI,NH,SW三部电影评过分，那么前三列为0.3,0.3,0.3 ，这里是将数据标准化了，使得每条记录值相加为1，绿色框表示的是时间，确定一个起始时间，数值表示距离起始时间的时间，最后一个框表示用户在评过事务中的这不电影前，还评过其他的哪些电影，预测值为Y，最后一列，表示用户对这部电影的评分。
我们的输入就类似这种情况，如果用户量非常多，电影量也非常多，那么这个输入是相当稀疏的，使用支持向量机之类的模型就显得力不从心，所以作者引出了因子机。
3.模型描述
因子机有度的概念，其实就是表示是多少个自变量相互影响，我们先从2度开始描述 ,假设需要预测的变量为Y，我们需要通过一个预测值 Y^ 来对Y进行预测，然后给定一个损失函数，最小化Y和 Y^ 之间的差距。
Y^(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n<vi,vj>xixj(1)
其中
w0∈R,w∈Rn,V∈Rn∗k
其中k是正整数，表示用k维的因子去表示一个变量，这个概念也是因子机名字的来源。
∑i=1n∑j=i+1n<vi,vj>xixj
表示两个变量之间的交互作用，这里使用的是向量 vi 和 vj 的内积，而不是单纯使用一个参数 wij ，其
优势1，就是可以 vi 向量在衡量 xi 和其他变量的相互作用强度时
都可以用到，如果使用 wij ,我们需要估计 n(n−1)/2 个参数，但是使用内积时我们只需要估计 kn 个参数,如果 k<n 的话，这个需要估计的参数也会减少很多。
优势2，如果使用 wij 时，训练集中没有出现过变量 xi,xj 同时不为零的情况，那么 wij 就会为零，但是测试集中出现了 xi,xj 同时不为零的情况，这样就无法衡量这两个变量之间的相互作用强度，但是使用内积便可以避免这种情况，只要 xi 有不为零的记录， xj 有不为零的记录，这样 <vi,vj> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8494"> </script>就不为零。
其中的第二个优势在推荐系统当中是相当有用的，比如说需要预测A对一部电影MN的评分，但是训练集中没有A对这不电影的评分，但是有A的对应变量对应的因子向量，有MN电影对应变量对应因子向量，这样就可以描述A和电影MN的相互作用，这对于预测评分是很重要的。
模型的求解
通过上述转换，我们将公式1转变成
Y^(x)=w0+∑i=1nwixi+1/2∑f=1k((∑i=1nvi,fxi)2−∑i=1nv2i,fx2i)
涉及的就只有 nk 个变量 ，
这样我们套用一些损失函数，比如回归问题套用均方误差等等 ，二分类问题使用logit损失等.
FFM(Field-aware Factorization Machines)
YUChin Juan 在2016年对FM模型进行改进，提出了Field-aware Factorization Machines，接下来我将详细的介绍这种算法，针对推荐算法中的变量，其实是可以分成若干了类别的。比如用户相关的特征，商品相关的特征，场景相关的特征，这样就可以将特征分成若干个field，在FM模型中，一个特征，举个例子，用户的年龄特征 x ，被一个隐因子表示，即k维的向量vx,当我们表征x 和其他特征 y 的交互作用时，其系数为<vx,vy>,无论y是哪一个特征，都是用 vx ，但是我们有理由相信，用户相关的特征 和商品相关的特征的交互作用 与用户相关的特征和场景相关的特征的交互作用是不一样的,那么当y是商品相关的特征时，交互作用的系数为 <vx,item,vy,user> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8503"> </script> .如果y是场景相关的特征，交互作用的系数为 <vx,scene,vy,user> <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8504"> </script>
Y^(x)=w0+∑i=1nwixi+∑j1=1n∑j2=j1+1n<vj1,f2,vj2,f1>xj1xj2