摘要
在实际的应用场景中，数据的稀疏性会大大降低支持向量机（support vector machine，svm）等经典算法的预测性能。另外，传统的因式分解类算法，如矩阵分解（Matrix Factorization，MF）泛化能力弱，无法满足实际需求。为解决上述问题，Steffen Rendle提出一种基于分解思想的算法，即因子分解机（Factorization Machines，FM）。凭借出色的通用性以及较低的线性计算复杂度，FM 在推荐算法大家族中起着举足轻重的作用。
1. FM模型
本小节将简要地介绍FM的工作模型。
FM的建模公式为：
算法需要学习的参数为：
其中， V V V是一个因子矩阵，里面包含n个物品与k个隐类的关系。
式（1）是FM的模型公式。 w 0 w_0 w0是全局偏置， w i w_i wi表示具体某一个样本的权重，< v i v_i vi, v j v_j vj>表示两个样本的互动权重（interaction）。所以，FM的输出是由全局偏置，单样本信息，样本交互信息三个部分组成的。
式（2）表示模型要学习的参数，可以看出 V V V是一个n行k列的矩阵，行数表示具体的样本，列数表示隐变量。举个例子：
其中，每一列代表一个隐变量，当然隐变量往往具有不可解释性，这里只是为了方便读者理解而赋予其具体含义。
式（3）说明< v i v_i vi, v j v_j vj>表示两个向量做点积，而我们知道点积可以用来计算两个向量的相似性，因此互动权重可以用来表示两个用户的相似性。
2. FM如何解决数据的稀疏性
在实际的业务场景中，数据往往具有一定的稀疏性，产生这种稀疏性往往有两个原因：数据缺失（用户没对某一个电影进行评分）以及one-hot编码。举一个电影评分的例子：
上图中，蓝色框代表用户，红色框代表当前被评分的电影，黄色框表示用户的历史打分情况，绿色框表示最近一次打分到现在的时间，紫色块表示最后一次评分的电影。
那 么 ， 稀 疏 性 会 带 来 什 么 问 题 ？ \color{red}{那么，稀疏性会带来什么问题？} 那么，稀疏性会带来什么问题？
假设现在目的是预估用户A对电影ST的评分，从上图可以发现，没有一个样本x的A列和ST列同时为非0（这说明用户A从来没对电影ST产生过交互），因此一般的算法可能因为缺乏信息而不能预估A对ST的评分。
那 么 ， F M 怎 么 解 决 稀 疏 性 带 来 的 问 题 呢 ？ \color{red}{那么，FM怎么解决稀疏性带来的问题呢？} 那么，FM怎么解决稀疏性带来的问题呢？
回顾公式（1），FM在计算预测值时引入了交互信息，因此可以依赖模型学习到的交互信息来进行估计(相当于饶了一点路，迂回估计)。 同样以预估用户A对电影ST为例，用B对ST与SW的评分几乎一样，那么可以认为ST 与SW的隐向量（ v s w v_{sw} vsw, v s t v_{st} vst）几乎一致，那么就可以通过用户A对电影SW的评分来估计用户A对电影ST的评分。
3 FM的线性复杂度
观察FM的模型公式（公式1），由于需要计算样本的交互信息，FM的计算复杂度为 O （ O（ O（kn2 ） ） ），但对公式1进行转换之后，可以把线性复杂度降低至 O ( k n ) O(kn) O(kn)。
公式1经过转化后具有可直接求导的性质，因此就可以很方便地使用随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）等优化算法进行求解。
4.FM与其他算法的对比
4.1 FM与SVM的对比
与SVM对比，FM具有以下优点：
- FM可以直接求解，而SVM需要先把原问题转化成对偶问题再求解
- 可以处理稀疏数据：SVM处理稀疏数据的能力很弱，如下图。 原因分析：在使用高阶核的情况下，要准确估计高阶的交互信息参数 w i , j w_{i,j} wi,j（高阶会产生很多交互项，理解以下 ( x 1 + x 2 ) (x_1+x_2) (x1+x2)的平方就好了），SVM要求 x i x_i xi, x j x_j xj均不为零，这就要求数据不能太稀疏。
（推荐系统） FM算法：Factorization Machines摘要1. FM模型2. FM如何解决数据的稀疏性3 FM的线性复杂度4.FM与其他算法的对比5 总结 - FM对训练数据的依赖性不高，SVM的效果很依赖支持向量。
4.2 FM与传统因子分解算法的对比
经推导发现，FM可以近似模拟如SVD++，矩阵分解，PITF等传统的因子分解算法这说明FM具有良好的泛化性。详细的公式推导建议阅读原论文，此处不作赘述。
5 总结
本来简要地对FM算法进行了梳理，笔者认为FM算法十分经典，是后序涉及因子分解思想的算法的基础。应重点理解FM算法为何FM能解决稀疏性的问题以及如何降低算法复杂度。
FM算法也为设计推荐算法提供了几个需要考虑的维度：
- 是否充分考虑了交互信息
- 怎么去解决数据稀疏的问题
- 求解是否方便？
- 算法复杂度如何？
- 泛化性如何？算法是否只对某些数据有效？