MATLAB 数学应用 微分方程 时滞微分方程 具有不连续性的心血管模型DDE

本文讲述了如何使用 dde23 对具有不连续导数的心血管模型求解。

方程组为：

P ˙ a ( t ) = − 1 c a R P a ( t ) + 1 c a R P v ( t ) + 1 c a V s t r ( P a τ ( t ) ) H ( t ) \dot{P}_a(t) = -\dfrac{1}{c_aR}P_a(t) + \dfrac{1}{c_aR}P_v(t) + \dfrac{1}{c_a}V_{str}(P_{a}^τ(t))H(t) P˙a​(t)=−ca​R1​Pa​(t)+ca​R1​Pv​(t)+ca​1​Vstr​(Paτ​(t))H(t)

P ˙ v ( t ) = − 1 c v R P a ( t ) − ( 1 c v R P v ( t ) ) \dot{P}_v(t) = -\dfrac{1}{c_vR}P_a(t) - (\dfrac{1}{c_vR}P_v(t)) P˙v​(t)=−cv​R1​Pa​(t)−(cv​R1​Pv​(t))

H ˙ ( t ) = α H T s 1 + γ H T p − β H T p . \dot{H}(t) = \dfrac{α_HT_s}{1 + γ_HT_p} - β_HT_p. H˙(t)=1+γH​Tp​αH​Ts​​−βH​Tp​.

T s T_s Ts​ 和 T p T_p Tp​ 的项分别是同一方程在有时滞和没有时滞状态下的变体。 P τ a P_τ^a Pτa​ 和 P a P_a Pa​ 分别代表在有时滞和没有时滞状态下的平均动脉压。

此问题有许多物理参数：

• 动脉顺应性 c a = 1.55   m l / m m H g c_a = 1.55 ml/mmHg ca​=1.55 ml/mmHg
• 静脉顺应性 c v = 519   m l / m m H g c_v = 519 ml/mmHg cv​=519 ml/mmHg
• 外周阻力 R = 1.05 ( 0.84 ) m m H g   s / m l R = 1.05(0.84)mmHg s/ml R=1.05(0.84)mmHg s/ml
• 静脉流出阻力 r = 0.068   m m H g   s / m l r = 0.068 mmHg s/ml r=0.068 mmHg s/ml
• 心博量 V s t r = 67.9 ( 77.9 )   m l V_{str} = 67.9(77.9) ml Vstr​=67.9(77.9) ml
• 典型平均动脉压 P 0 = 93   m m H g P_0 = 93 mmHg P0​=93 mmHg
• α 0 = α s = α p = 93 ( 121 )   m m H g α_0 = α_s = α_p = 93(121) mmHg α0​=αs​=αp​=93(121) mmHg
• α H = 0.84   s e c − 2 α_H = 0.84 sec^{−2} αH​=0.84 sec−2
• β 0 = β s = β p = 7 β_0 = β_s = β_p = 7 β0​=βs​=βp​=7
• β H = 1.17 β_H = 1.17 βH​=1.17
• γ H = 0 γ_H = 0 γH​=0

该方程组受外周压的巨大影响，外周压会从 R=1.05 急剧减少到 R=0.84，从 t=600 处开始。因此，该方程组在 t=600 处的低阶导数具有不连续性。

常历史解由以下物理参数定义

P a = P 0 , P_a = P_0, Pa​=P0​,

P v ( t ) = 1 1 + R r P 0 , P_v(t) = \dfrac{1}{1 + \dfrac{R}{r}}P_0, Pv​(t)=1+rR​1​P0​,

H ( t ) = 1 R V s t r 1 1 + r R P 0 . H(t) = \dfrac{1}{RV{str}}\dfrac{1}{1+\dfrac{r}{R}}P_0. H(t)=RVstr1​1+Rr​1​P0​.

要在 MATLAB 中求解此方程组，您需要先编写方程组、参数、时滞和历史解的代码，然后再调用时滞微分方程求解器 dde23，该求解器适用于具有常时滞的方程组。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾，或者将它们作为单独的命名文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

定义物理参数

首先，将问题的物理参数定义为结构体中的字段。

p.ca     = 1.55;
p.cv     = 519;
p.R      = 1.05;
p.r      = 0.068;
p.Vstr   = 67.9;
p.alpha0 = 93;
p.alphas = 93;
p.alphap = 93;
p.alphaH = 0.84;
p.beta0  = 7;
p.betas  = 7;
p.betap  = 7;
p.betaH  = 1.17;
p.gammaH = 0;
           

编写时滞代码

接下来，创建变量 tau 来表示项 P τ a ( t ) = P a ( t − τ ) P_τ^a(t) = P_a(t−τ) Pτa​(t)=Pa​(t−τ) 的方程中的常时滞 τ。

编写方程代码

现在，创建一个函数来编写方程的代码。此函数应具有签名 dydt = ddefun(t,y,Z,p)，其中：

• t 是时间（自变量）。
• y 是解（因变量）。
• Z(n,j) 对时滞 y n = ( d ( j ) ) y_n = (d(j)) yn​=(d(j)) 求近似值，其中时滞 d(j) 由 dely(t,y) 的分量 j 给出。
• p 是可选的第四个输入，用于传入参数值。

求解器自动将前三个输入传递给函数，变量名称决定如何编写方程代码。调用求解器时，参数结构体 p 将传递给函数。在本例中，时滞表示为：

• Z ( : , 1 )   → P a ( t − τ ) Z(:,1) →P_a(t−τ) Z(:,1) →Pa​(t−τ)

function dydt = ddefun(t,y,Z,p)
    if t <= 600
      p.R = 1.05;
    else
      p.R = 0.21 * exp(600-t) + 0.84;
    end    
    ylag = Z(:,1);
    Patau = ylag(1);
    Paoft = y(1);
    Pvoft = y(2);
    Hoft  = y(3);

    dPadt = - (1 / (p.ca * p.R)) * Paoft ...
            + (1/(p.ca * p.R)) * Pvoft ...
            + (1/p.ca) * p.Vstr * Hoft;

    dPvdt = (1 / (p.cv * p.R)) * Paoft...
            - ( 1 / (p.cv * p.R)...
            + 1 / (p.cv * p.r) ) * Pvoft;

    Ts = 1 / ( 1 + (Patau / p.alphas)^p.betas );
    Tp = 1 / ( 1 + (p.alphap / Paoft)^p.betap );

    dHdt = (p.alphaH * Ts) / (1 + p.gammaH * Tp) ...
           - p.betaH * Tp;

    dydt = [dPadt; dPvdt; dHdt];
end 
           

注意：所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。

编写历史解代码

接下来，创建一个向量来定义三个分量 P a P_a Pa​、 P v P_v Pv​ 和 H 的常历史解。历史解是时间 t ≤ t 0 t ≤ t_0 t≤t0​ 的解。

P0 = 93;
Paval = P0;
Pvval = (1 / (1 + p.R/p.r)) * P0;
Hval = (1 / (p.R * p.Vstr)) * (1 / (1 + p.r/p.R)) * P0;
history = [Paval; Pvval; Hval];
           

求解方程

使用 ddeset 来指定在 t=600 处存在不连续性。最后，定义积分区间 [ t 0   t f ] [t_0 t_f] [t0​ tf​] 并使用 dde23 求解器对 DDE 求解。使用匿名函数指定 ddefun 以传入参数结构体 p。

options = ddeset('Jumps',600);
tspan = [0 1000];
sol = dde23(@(t,y,Z) ddefun(t,y,Z,p), tau, history, tspan, options);
           

对解进行绘图

解结构体 sol 具有字段 sol.x 和 sol.y，这两个字段包含求解器在这些时间点所用的内部时间步和对应的解。（如果您需要在特定点的解，可以使用 deval 来计算在特定点的解。）

绘制第三个解分量（心率）对时间的图。

plot(sol.x,sol.y(3,:))
title('Heart Rate for Baroreflex-Feedback Mechanism.')
xlabel('Time t')
ylabel('H(t)')
           

局部函数

此处列出了 DDE 求解器 dde23 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function dydt = ddefun(t,y,Z,p) % equation being solved
    if t <= 600
      p.R = 1.05;
    else
      p.R = 0.21 * exp(600-t) + 0.84;
    end    
    ylag = Z(:,1);
    Patau = ylag(1);
    Paoft = y(1);
    Pvoft = y(2);
    Hoft  = y(3);

    dPadt = - (1 / (p.ca * p.R)) * Paoft ...
            + (1/(p.ca * p.R)) * Pvoft ...
            + (1/p.ca) * p.Vstr * Hoft;

    dPvdt = (1 / (p.cv * p.R)) * Paoft...
            - ( 1 / (p.cv * p.R)...
            + 1 / (p.cv * p.r) ) * Pvoft;

    Ts = 1 / ( 1 + (Patau / p.alphas)^p.betas );
    Tp = 1 / ( 1 + (p.alphap / Paoft)^p.betap );

    dHdt = (p.alphaH * Ts) / (1 + p.gammaH * Tp) ...
           - p.betaH * Tp;

    dydt = [dPadt; dPvdt; dHdt];
end