MATLAB 数学应用 微分方程 时滞微分方程 dde23

dde23：求解带有固定时滞的时滞微分方程 (DDE)。

语法

sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan)

sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan,options)

参数

参数	说明
ddefun	用于对微分方程 y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ( t − τ 1 ) , . . . , y ( t − τ k ) ) y'(t)=f(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k)) y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1​),...,y(t−τk​)) 右侧进行计算的函数句柄。此函数必须为以下形式：dydt = ddefun(t,y,Z)；其中 t 对应当前 t，y 是一个求 y(t) 近似值的列向量，Z(:,j) 用于为时滞 τj = lags(j) 求 y(t – τj) 的近似值。输出是对应 f ( t , y ( t ) , y ( t − τ 1 ) , . . . , y ( t − τ k ) ) f(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k)) f(t,y(t),y(t−τ1​),...,y(t−τk​)) 的列向量。
lags	固定正时滞向量 τ1, …, τk。
history	按以下三种方式之一指定 history： 一个 t 函数，要求 y = history(t) 能够将 t ≤ t0 的解 y(t) 以列向量的形式返回 一个固定列向量（如果 y(t) 为常量） 来自之前积分的解 sol（如果此调用继续该积分）
tspan	从 t0=tspan(1) 到 tf=tspan(end) 的积分区间，其中 t0 < tf。
options	可选积分参数。使用 ddeset 函数创建的结构体。

说明

sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan) 计算 DDE 结构体

y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) , y ( t − τ 1 ) , . . . , y ( t − τ k ) ) y'(t)=f(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k)) y′(t)=f(t,y(t),y(t−τ1​),...,y(t−τk​))

在 [ t 0 , t f ] [t_0,t_f] [t0​,tf​] 区间上的积分，其中 τ 1 , . . . , τ k τ_1, ..., τ_k τ1​,...,τk​ 为固定正时滞和 t 0 , t f t_0,t_f t0​,tf​。输入参数 ddefun 是一个函数句柄。

dde23 以结构体 sol 的形式返回解。使用辅助函数 deval 和输出 sol 来计算区间 tspan = [t0,tf] 中的特定点 tint 的解。

yint = deval(sol,tint)

dde23 返回的结构体 sol 包含下列字段。

字段	含义
sol.x	dde23 选择的网格
sol.y	sol.x 网格点处的 y(x) 近似值。
sol.yp	sol.x 网格点处的 y(x) 近似值
sol.solver	求解器名称 ‘dde23’

sol = dde23(ddefun,lags,history,tspan,options) 的解算方法与上述方法相同，只是将默认积分属性替换为了 options（使用 ddeset 创建的参数）中的值。

常用选项包括标量相对误差容限 ‘RelTol’（默认为 e − 3 e^{-3} e−3）和绝对误差容限的向量 ‘AbsTol’（默认情况下，所有分量均为 e − 6 e^{-6} e−6）。

使用 ‘Jumps’ 选项解决历史记录或求解中的不连续问题。将此选项设置为一个包含不连续性问题位置的向量，这些不连续性位于 t 0 t_0 t0​ 之前的求解中（历史记录），或者位于 t 0 t_0 t0​ 之后的 t t t 已知值位置的等式系数中。

使用 ‘Events’ 选项指定一个函数，dde23 调用该函数来找出函数 g ( t , y ( t ) , y ( t − τ 1 ) , . . . , y ( t − τ k ) ) g(t,y(t),y(t−τ_1),...,y(t−τ_k)) g(t,y(t),y(t−τ1​),...,y(t−τk​)) 消失位置。此函数必须为以下形式

[value,isterminal,direction] = events(t,y,Z)

并包含一个事件函数以测试每个事件。对于 events 中的第 k 个事件函数：

• value(k) 是第 k 个事件函数的值。
• 如果想要积分在此事件函数为零时终止，则 isterminal(k) = 1；否则为 0。
• 如果想要 dde23 计算此事件函数的所有零，则 direction(k) = 0；如果仅计算事件函数呈上升趋势时的零，则 +1，如果仅计算事件函数呈下降趋势时的零，则 -1。

如果指定了 ‘Events’ 选项，并且检测到事件，输出结构体 sol 还包括下列字段：

字段	含义
sol.xe	包含所有事件位置的行向量，即事件函数消失的时间
sol.ye	包含特定列数据的矩阵，其列值为与 sol.xe 中的时间对应的解
sol.ie	索引向量，其中的索引值用于指定在 sol.xe 中的对应时间所发生的事件

示例

以下示例显示如何在 [0, 5] 区间上对 DDE 求解，其中 lags 为 1 和 0.2。ddex1de 函数计算时滞微分方程，ddex1hist 计算 t <= 0 的历史记录。

此代码在 [0,5] 的区间上以 100 个等间距点计算解，然后绘制结果。

tint = linspace(0,5);
yint = deval(sol,tint);
plot(tint,yint);
           

ddex1 显示如何使用局部函数解决此问题。

算法

dde23 跟踪不连续性并使用显式 Runge-Kutta (2,3) 对和插值对 ode23 求积分。它通过迭代来采用超过时滞的步长。