算法（一）最大子数组问题

问题描述：

给你一个一维数组，数组值可正可负，要求得到连续子数组的最大和值，子数组的元素至少为1个。
           

解决方法：

暴力求解法：

通过两层for循环遍历每一种可能的组合，再通过比较得到最大的值。方法实现较为简单，但时间复杂度较高，需要O（n*n），代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int> & nums) {
        int number = nums.size();
        int currentSum = ;
        int max = nums[];
        //n个数则总共执行n次循环
        for (int i = ; i < number; ++i) {
            currentSum = ;
            for (int j = i; j < number; ++j) {
                currentSum += nums[j];
                if (currentSum > max)
                    max = currentSum;
            }
        }
        return max;
    }
};
           

分治法：

寻找数组的中间值，将原数组划分为左右两个部分，则最大子数组出现的可能情况有三种：
    1. 在左边的子数组中
    2. 在右边的子数组中
    3. 最大子数组跨越左右两个子数组，则中间值middle一定包含在最大子数组中
实现代码如下：
           

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int> & nums) {
        return findMaxSubArray(nums, , nums.size() - );
    }

    int findMaxSubArray(vector<int> & nums, int left, int right) {
        //当只有一个值时返回该值
        if (left == right)
            return nums[left];
        int mid = (left + right) / ;
        //左数组
        int leftMax = findMaxSubArray(nums, left, mid);
        //右数组
        int rightMax = findMaxSubArray(nums, mid + , right);
        //包含middle值的数组
        int centerMax = findCrossMaxArray(nums, mid, left, right);
        //返回三者中的最大者
        return findMax(leftMax, rightMax, centerMax);
    }

    int findCrossMaxArray(vector<int> & nums, int mid, int left, int right) {
        int leftSum = , rightSum = ;
        int leftMax = nums[mid], rightMax = nums[mid + ];
        int i = mid, j = mid + ;
        int max = ;
        //左半边最大的值
        for (; i >= left; --i) {
            leftSum += nums[i];
            if (leftSum > leftMax)
                leftMax = leftSum;
        }
        //右半边最大的值
        for (; j <= right; ++j) {
            rightSum += nums[j];
            if (rightSum > rightMax)
                rightMax = rightSum;
        }
        max = leftMax + rightMax;
        return max;
    }

    int findMax(int a, int b, int c) {
        int temp = ;
        if (a > b)
            temp = a;
        else
            temp = b;
        if (temp < c)
            temp = c;
        return temp;
    }
};
           

这个算法的时间复杂度较暴力求解有了一定的提升。设数组的长度为n, 时间复杂度为T（n）,则时间复杂度为T（n） = 2 * T（n / 2） + 0(n)，可计算得时间复杂度为0（nlgn）。

线性时间算法

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int> & nums) {
        int currentSum = ;
        int max = nums[];
        for (int i = ; i < nums.size(); ++i) {
            currentSum += nums[i];
            if (currentSum > max)
                max = currentSum;
            if (currentSum < )
                currentSum = ;
        }
        return max;
    }
};
           

从第一个数开始累加，如果是正的则一直保持，负的则舍弃重新累加。max一直保留目前的最大值。
           

动态规划

该算法的思想是已知原数组后面部分的最大子数组nAll以及该部分最前一个元素开始的最大子数组nStart。然后再往前添加一个元素，则此时新数组的最大子数组要么是包含新元素，要么是原来的最大子数组。如果包含新元素，则是新元素本身或者是新元素加上原来的nStart的和。时间复杂度为O（n）。 代码如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int> & nums) {
        int nStart = nums[nums.size() - ];
        int nAll = nums[nums.size() - ];
        for (int i = nums.size() - ; i >= ; --i) {
            nStart = max(nums[i], nums[i] + nStart);
            nAll = max(nAll, nStart);
        }
        return nAll;
    }

    int max(int x, int y) {
        return (x > y) ? x : y;
    }
};
           

问题应用：

如果有一张近期股票的走势图，要问你哪天买入哪天卖出能得到最大收益。此时可以转为最大子数组问题。数组元素为前后两天的股票差值。