53. 最大子序和 （动态规划/分治）

文章目录

• • • • 最大子序和问题
      • • 基础解法
        • 利用特性
        • 动态规划
        • 分治

最大子序和问题

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出：6

解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

基础解法

将容器所有的可能组合都进行求值得出其中最大值。

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
	int size = nums.size();
	int value = 0;
	int result = nums[0]; // 将第一个值最为初始比较值
	for (int start = 0; start < size; start++)
	{
		value = 0;
		for(int j = start; j < size; j++)
		{
			value += nums[j];
			if(result < value)
			{
				result = value;
			}
		}
	}
	return result;
}
           

• 时间复杂度

  O(n^2)

• 空间复杂度

  O(1)

利用特性

对于该问题，则必有最大得组合开始和结尾得数据均为正数 ，不可能存在开始或结束值为负数求得最大值。

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
	int res = nums[0];
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        if (sum > 0)
            sum += num;
        else  // 值为负数，重新开始累计
            sum = num;
        res =  std::max(res, sum); // 求得最大值
    }
    return res;
}
           

• 时间复杂度

  O(n)

• 空间复杂度

  O(1)

动态规划

实际上是把特性，提取出来理论。

假设数组nums的长度为N，则下标范围为[0,N-1]

我们用 f(i) 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是：

所有f(i)中最大的那一个。

因此我们只需要求出每个位置的 f(i)，然后返回 f 数组中的最大值即可。那么我们如何求 ff(i) 呢？我们可以考虑nums[i]单独成为一段还是加入 f(i-1) 对应的那一段，这取决nums[i] 和 f(i-1) +nums[i] 的大小，我们希望获得一个比较大的，于是可以写出如下的动态转移方程，求得nums[i]，与f(i-1)+nums[i]中大的那个。

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int pre = 0, maxAns = nums[0];
        for (const auto &x: nums) {
            pre = max(pre + x, x); // 求得f(i-1)+nums[i] 与num[i]中最大的值 （公式2）
            maxAns = max(maxAns, pre); // 求得记录之前的值与上面的值中最大的值。 （公式1）
        }
        return maxAns;
    }
};
           

• 时间复杂度

  O(n)

• 空间复杂度

  O(1)

分治

分治思想就是将一个问题分解成为N个子问题，然后将多个解合并为一。