873. 最长的斐波那契子序列的长度 : 经典序列 DP 运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​873. 最长的斐波那契子序列的长度​​ ，难度为 中等。

Tag : 「序列 DP」、「哈希表」、「动态规划」

如果序列 

• ​

  ​n >= 3​

  ​
• 对于所有​

  ​i + 2 <= n​

  ​​，都有

给定一个严格递增的正整数数组形成序列 ​

​arr​

​​，找到 ​

​arr​

​​ 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回  

（回想一下，子序列是从原序列 ​

​arr​

​​ 中派生出来的，它从 ​

​arr​

​​ 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， ​

​[3, 5, 8]​

​​ 是 ​

​[3, 4, 5, 6, 7, 8]​

​ 的一个子序列）

示例 1：

输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]

输出: 5

解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8]      

示例 2：

输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]

输出: 3

解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18]      

提示：

序列 DP

定义 为使用 为斐波那契数列的最后一位，使用 为倒数第二位（即

不失一般性考虑 该如何计算，首先根据斐波那契数列的定义，我们可以直接算得 前一位的值为 ，而快速得知 值的坐标 ，可以利用 ​​

​arr​

​​ 的严格单调递增性质，使用「哈希表」对坐标进行转存，若坐标 存在，并且符合 ，说明此时至少凑成了长度为 的斐波那契数列，同时结合状态定义，可以使用 来更新 ，即有状态转移方程：

同时，当我们「从小到大」枚举 ，并且「从大到小」枚举

• 可行性剪枝：当出现，说明即使存在值为的下标，根据​​

  ​arr​

  ​​ 单调递增性质，也不满足的要求，且继续枚举更小的，仍然有，仍不合法，直接​​

  ​break​

  ​​ 掉当前枚举
• 最优性剪枝：假设当前最大长度为​

  ​ans​

  ​​，只有当，我们才有必要往下搜索，的含义为以

代码：

class Solution {
    public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) map.put(arr[i], i);
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {
                if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
                int t = map.getOrDefault(arr[i] - arr[j], -1);
                if (t == -1) continue;
                f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1);
                ans = Math.max(ans, f[i][j]);
            }
        }
        return      

• 时间复杂度：存入哈希表复杂度为；​​

  ​DP​

  ​​ 过程复杂度为。整体复杂度为
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​

​No.873​

​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。