873. 最長的斐波那契子序列的長度 : 經典序列 DP 運用題

題目描述

這是 LeetCode 上的 ​​873. 最長的斐波那契子序列的長度​​ ，難度為 中等。

Tag : 「序列 DP」、「哈希表」、「動态規劃」

如果序列 

• ​

  ​n >= 3​

  ​
• 對于所有​

  ​i + 2 <= n​

  ​​，都有

給定一個嚴格遞增的正整數數組形成序列 ​

​arr​

​​，找到 ​

​arr​

​​ 中最長的斐波那契式的子序列的長度。如果一個不存在，傳回  

（回想一下，子序列是從原序列 ​

​arr​

​​ 中派生出來的，它從 ​

​arr​

​​ 中删掉任意數量的元素（也可以不删），而不改變其餘元素的順序。例如， ​

​[3, 5, 8]​

​​ 是 ​

​[3, 4, 5, 6, 7, 8]​

​ 的一個子序列）

示例 1：

輸入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]

輸出: 5

解釋: 最長的斐波那契式子序列為 [1,2,3,5,8]      

示例 2：

輸入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]

輸出: 3

解釋: 最長的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18]      

提示：

序列 DP

定義 為使用 為斐波那契數列的最後一位，使用 為倒數第二位（即

不失一般性考慮 該如何計算，首先根據斐波那契數列的定義，我們可以直接算得 前一位的值為 ，而快速得知 值的坐标 ，可以利用 ​​

​arr​

​​ 的嚴格單調遞增性質，使用「哈希表」對坐标進行轉存，若坐标 存在，并且符合 ，說明此時至少湊成了長度為 的斐波那契數列，同時結合狀态定義，可以使用 來更新 ，即有狀态轉移方程：

同時，當我們「從小到大」枚舉 ，并且「從大到小」枚舉

• 可行性剪枝：當出現，說明即使存在值為的下标，根據​​

  ​arr​

  ​​ 單調遞增性質，也不滿足的要求，且繼續枚舉更小的，仍然有，仍不合法，直接​​

  ​break​

  ​​ 掉目前枚舉
• 最優性剪枝：假設目前最大長度為​

  ​ans​

  ​​，隻有當，我們才有必要往下搜尋，的含義為以

代碼：

class Solution {
    public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
        int n = arr.length, ans = 0;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) map.put(arr[i], i);
        int[][] f = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {
                if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
                int t = map.getOrDefault(arr[i] - arr[j], -1);
                if (t == -1) continue;
                f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1);
                ans = Math.max(ans, f[i][j]);
            }
        }
        return      

• 時間複雜度：存入哈希表複雜度為；​​

  ​DP​

  ​​ 過程複雜度為。整體複雜度為
• 空間複雜度：

最後

這是我們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​

​No.873​

​ 篇，系列開始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目，部分是有鎖題，我們将先把所有不帶鎖的題目刷完。

在這個系列文章裡面，除了講解解題思路以外，還會盡可能給出最為簡潔的代碼。如果涉及通解還會相應的代碼模闆。