旅行商问题（TSP）的两种模型

TSP简介

一个商人从一点出发，经过所有点后返回原点。它需要满足：除起点和终点外，所有点当且仅当经过一次；起点与终点重合；所有点构成一个连通图。要求：得到这个商人经过所有点的最短路程。

TSP模型表示

设x[i][j]是一个0-1变量，其中1表示点i与点j之间有连边，0表示这两点之间无连边，值得注意的是：x[i][j]不一定等于x[j][i]。

设c[i][j]表示点i到点j的距离，同理，c[i][j]不一定等于c[j][i]。

目标函数：

min sum(x[i][j]*c[i][j]) i，j分别遍历（博客中插入公式不会，暂且这么表示，该公式是一个二维for循环，分别遍历i和j）

约束条件：

根据题目描述：所有点经过且只经过一次，并且构成一个环，因此任意一点的出度等于入度等于1，即需要满足如下两个约束：

1.sum(x[i][j])=1,遍历i （该公式表示点j的入度等于1）

2.sum(x[i][j])=1,遍历j （该公式表示点i的出度等于1）

若只有以上两个约束条件，则形成的解中可能会产生若干个独立的环，即所有点不能构成一个连通块。为打破子环的存在，还需加入一个约束条件。基于不同的角度，有两种不同的约束方式，从而产生两种不同的TSP数学模型，鉴于网上对两种模型的比较较少，且介绍较为简单，同时由于前面几个目标函数和约束1 2 的意义明确，因此本博文主要想介绍这两种不同的约束的理由及各自优缺点。

A：sum(x[i][j])<=|S|-1;其中S表示任意一个点的子集（S集合中点的个数大于等于2个，小于CityNum个），例如：TSP中有3个点 a b c,则S表示{a,b},{a,c},{b,c}中的任意一个。上式中i和j在S集合中遍历。解释：若不满足该约束，则存在一个TSP的点的子集，使得sum(x[i][j])>=|S|，我们可以很快知道sum(x[i][j]),遍历i和j表示对应子图中连边数量（因为x[i][j]=1表示从i到j有连边），那么当该子图构成一个环时，边的个数等于点的个数。因此，添加该约束能够保证任意子图不存在子环，从而保证所有点形成一个连通块。具体cplex的代码可以参考我的另一篇博文：https://blog.csdn.net/u011561033/article/details/93380842

B：u[i]-u[j]+(CityNum-1)*x[i][j]<=CityNum-2; i,j 从2个点开始遍历。该公式新定义了一个变量，不用任何初始化操作。需要注意的是这边的i和j是从2个点开始遍历的，即需要把起点去掉。该公式也能满足不存在环。因为若x[i][j]=1，表示i到j有连边，那么原约束就变成：u[i]-u[j]<=-1 即 u[j]>=u[i]+1它保证u[t]从起点开始随着商人的行走一直递增，若存在子环，例如a-b-c-a,则会出现u[a]<u[b]<u[c]<u[a]，从而导致不等式递推不成立，因此，若满足公式：u[i]-u[j]+(CityNum-1)*x[i][j]<=CityNum-2;就能保证不存在环。因此，不把起点也包括在内是非常重要的。我就因为一开始把起点包括在内，导致出现了很多错误。

综上所述，两种TSP模型各有优缺点，其中A模型易于理解，但随着数据规模增大会导致S的规模呈指数级上升。B模型理解稍微要难于A模型，但其约束表示方便，便于计算。综合分析上述两个模型，我认为还是B模型更好，更能在程序中进行表示。具体cplex的代码可以参考我的另一篇博文：https://blog.csdn.net/u011561033/article/details/93408062

据说当点的规模超过100时，上述cplex代码中的两种方法都将不再适用，需要加入column generate的技巧，等我尝试后再更新。