看了马同学的这篇关于傅里叶变换的文章，如何理解傅里叶变换公式？，但是对于其中函数向量的部分不是很懂，想了很久，终于明白了，将过程记录下来。在记录过程中，将马同学的文章也重新编辑了一下，对其中的某些部分进行了解释。
1 对周期函数进行分解的猜想
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线是周期为 2 π 2\pi 2π的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：
而另外一位数学家：傅里叶男爵猜想任一周期函数可以写成三角函数之和
2 分解的思路
假设 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 T T T的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于 f ( x ) f(x) f(x)呢？
2.1 常数项
对于 y = C , C ∈ R y=C, C\in R y=C,C∈R这样的常数函数：
根据常数项的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。
所以分解里面应该有一个常数项。
2.2 通过 s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x), cos(x) sin(x),cos(x)进行分解
首先， s i n ( x ) , c o s ( x ) sin(x), cos(x) sin(x),cos(x)是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数，其次，它们的微积分都很简单。
然后， s i n ( x ) sin(x) sin(x)是奇函数，即：
s i n ( x ) = − s i n ( − x ) sin(x)=-sin(-x) sin(x)=−sin(−x)
从图像上也可以看出， s i n ( x ) sin(x) sin(x)关于原点对称，是奇函数：
而奇函数和奇函数加减只可以得到奇函数，即：
f o d d ± f o d d = f o d d f_{odd} \pm f_{odd}=f_{odd} fodd±fodd=fodd
其中， f o d d f_{odd} fodd为奇函数。
而 c o n s ( x ) cons(x) cons(x)为偶函数，即：
c o s ( x ) = c o s ( − x ) cos(x)=cos(-x) cos(x)=cos(−x)
从图像上也可以看出， c o s ( x ) cos(x) cos(x)关于 Y Y Y轴对称
同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
f e v e n ± f e v e n = f e v e n f_{even} \pm f_{even}=f_{even} feven±feven=feven
其中， f e v e n f_{even} feven表示偶函数。
但是任意函数可以分解为奇函数和偶函数之和：
f ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 2 ± f ( x ) − f ( − x ) 2 = f o d d ± f e v e n f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \pm \frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_{odd}\pm f_{even} f(x)=2f(x)+f(−x)±2f(x)−f(−x)=fodd±feven
所以同时需要 s i n ( x ) sin(x) sin(x)和 c o s ( x ) cos(x) cos(x)
2.3 保证组合出来的周期为 T T T
之前说了， f ( x ) f(x) f(x)是周期为 T T T的函数，我们怎么保证组合出来的函数依然为 T T T呢?
比如下面这个周期为 2 π 2\pi 2π的函数：
很显然， s i n ( x ) sin(x) sin(x)的周期也是 2 π 2\pi 2π
s i n ( 2 x ) sin(2x) sin(2x)的周期也是 2 π 2\pi 2π，虽然最小周期是 π \pi π
很显然， s i n ( n x ) ， n ∈ N sin(nx)，n\in \Bbb N sin(nx)，n∈N的周期都是 2 π 2\pi 2π:
更一般的，如果 f ( x ) f(x) f(x)的周期为 T T T，那么：
s i n ( 2 π n T x ) , c o s ( 2 π n T x ) , n ∈ N sin(\frac{2\pi n}{T}x), cos(\frac{2\pi n}{T}x), n\in \Bbb N sin(T2πnx),cos(T2πnx),n∈N
这些函数的周期都为 T T T。
将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也是 T T T
2.4 调整振幅
现在有一堆周期为 2 π 2\pi 2π的函数了，比如说 s i n ( x ) , s i n ( 2 x ) , s i n ( 3 x ) , s i n ( 4 x ) , s i n ( 5 x ) sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x) sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如 s i n ( x ) sin(x) sin(x)看起来处处都比目标低一些
把它的振幅增加一倍：
2 s i n ( x ) 2sin(x) 2sin(x)有的地方超出去了，从周期为 2 π 2\pi 2π的函数中选择一个，减去一点：
调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：
2.5 小结
综上，构造出来的三角函数之和大概类似于下面的样子：
f ( x ) = C + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ( 2 π n T x ) + b n s i n ( 2 π n T x ) ) , n ∈ N f(x)=C+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_n sin(\frac{2\pi n}{T}x)), n \in \Bbb N f(x)=C+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),n∈N
这样就符合之前的分析：
- 有常数项
- 奇函数和偶函数可以组合出任意函数
- 周期为 T T T
-
调整振幅，逼近原函数
之前的分析还比较，后面开始有单难度，即，怎么确定这三个系数：
C , a n , b n C, a_n, b_n C,an,bn
说是3个系数，其实是很多系数，因为 n ∈ N n \in \Bbb N n∈N
贴一张动图，感受一下
傅里叶变换关于函数向量的解释1 对周期函数进行分解的猜想2 分解的思路3 s i n ( x ) sin(x) sin(x)和 c o s ( x ) cos(x) cos(x)的另外一种表示方法4通过频域来求系数5傅里叶级数到傅里叶变换
3 s i n ( x ) sin(x) sin(x)和 c o s ( x ) cos(x) cos(x)的另外一种表示方法
直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是 e i ω t e^{i\omega t} eiωt？
3.1 e i ω t e^{i\omega t} eiωt
看到复数也不要怕，可以参加马同学另一篇关于复数的文章"如何通俗易懂的解释欧拉公式"，看到类似于 e i θ e^{i\theta} eiθ这种就应该想到复平面上的一个夹角为 θ \theta θ的向量：
那么当 θ \theta θ不再是常数，二是代表时间变量的 t t t的时候：
e i θ → e i ω t e^{i\theta} \to e^{i\omega t} eiθ→eiωt
其中， ω \omega ω为角速度， t t t为时间
随着时间 t t t的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来， 2 π ω \frac{2\pi}{\omega} ω2π秒就会旋转一圈，即 T = 2 π ω T=\frac{2\pi}{\omega} T=ω2π:
3.2 通过 e i ω t e^{i\omega t} eiωt表示 s i n ( t ) , c o s ( t ) sin(t), cos(t) sin(t),cos(t)
根据欧拉公式，有：
e i t = c o s ( t ) + i ⋅ s i n ( t ) e^{it}=cos(t)+i \cdot sin(t) eit=cos(t)+i⋅sin(t)
所以，在时间 t t t轴上，把 e i t e^{it} eit向量的虚部也就是（纵坐标）记录下来，得到的就是 s i n ( t ) sin(t) sin(t):
代数上用 I m Im Im表示虚部：
s i n ( t ) = I m ( e i t ) sin(t)=Im(e^{it}) sin(t)=Im(eit)
在时间 t t t轴上，把 e i 2 t e^{i2t} ei2t向量的需不记录下来，得到的就是 s i n ( 2 t ) sin(2t) sin(2t)
如果在时间 t t t轴上，把 e i t e^{it} eit的实部（横坐标）记录下来，得到的就是 c o s ( t ) cos(t) cos(t)的曲线：
-
代数上用 R e Re Re表示实部:
c o s ( t ) = R e ( e i t ) cos(t)=Re(e^{it}) cos(t)=Re(eit)
在 e i ω t e^{i\omega t} eiωt的图像中，可以观察到旋转的频率，所以称为频域；而在 s i n ( t ) sin(t) sin(t)中，可以看到流逝的时间，所以称为时域：
4通过频域来求系数
4.1 函数是线性组合
假设有这么个函数：
g ( t ) = s i n ( t ) + s i n ( 2 t ) g(t)=sin(t)+sin(2t) g(t)=sin(t)+sin(2t)
是一个 T = 2 π T=2\pi T=2π的函数：
如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
g ( t ) = I m ( e i t + e i 2 t ) g(t)=Im(e^{it}+e^{i2t}) g(t)=Im(eit+ei2t)
先看看 e i θ + e i 2 θ e^{i\theta}+e^{i2\theta} eiθ+ei2θ，其中， θ \theta θ是常数，很显然这是两个向量之和：
现在让他们动起来，把 θ \theta θ变成流逝的时间 t t t，那么就变成了选装的向量和：
很显然，如果把虚部记录下来，就得到 g ( t ) g(t) g(t)
4.2 函数向量
前面画了一大堆图，就想说明一个观点， e i ω t e^{i\omega t} eiωt是向量，并且是旋转向量。
而根据欧拉公式，有
e i ω t = c o s ( ω t ) + i ⋅ s i n ( ω t ) e^{i\omega t}=cos(\omega t)+i\cdot sin(\omega t) eiωt=cos(ωt)+i⋅sin(ωt)
从图像上看：
所以 s i n ( ω t ) ， c o s ( ω t ) sin(\omega t)，cos(\omega t) sin(ωt)，cos(ωt)也是向量。
e i ω t , s i n ( ω t ) ， c o s ( ω t ) e^{i\omega t},sin(\omega t)，cos(\omega t) eiωt,sin(ωt)，cos(ωt)称之为函数向量，并且函数向量的点积是这么定义的:
f ( x ) ⋅ g ( x ) = ∫ 0 T f ( x ) g ( x ) d x f(x)\cdot g(x)=\int_{0}^{T}f(x)g(x)d_x f(x)⋅g(x)=∫0Tf(x)g(x)dx，其中， f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)是函数向量， T T T是 f ( x ) ， g ( x ) f(x)，g(x) f(x)，g(x)的周期。
关于函数向量，关于函数向量的点积，更严格的讨论可以参考无限维的希尔伯特空间
4.3 g ( t ) g(t) g(t)是线性组合
虽然比较仓促，但是让我们先接受 s i n ( t ) , s i n ( 2 t ) sin(t),sin(2t) sin(t),sin(2t)是函数向量，那么它们的线性组合得到的也是函数向量：
g ( t ) = s i n ( t ) + s i n ( 2 t ) g(t)=sin(t)+sin(2t) g(t)=sin(t)+sin(2t)
根据刚才的点积的定义有：
s i n ( t ) ⋅ s i n ( 2 t ) = ∫ 0 2 π s i n ( t ) s i n ( 2 t ) d t = 0 sin(t)\cdot sin(2t)=\int_{0}^{2\pi}sin(t)sin(2t)d_t=0 sin(t)⋅sin(2t)=∫02πsin(t)sin(2t)dt=0
s i n ( t ) ⋅ s i n ( 2 t ) = 0 sin(t)\cdot sin(2t)=0 sin(t)⋅sin(2t)=0说明这两个函数向量正交，线性无关，是正交基，如果写成这样：
g ( t ) = 1 ⋅ s i n ( t ) + 1 ⋅ s i n ( 2 t ) g(t)=1\cdot sin(t)+1\cdot sin(2t) g(t)=1⋅sin(t)+1⋅sin(2t)
可以理解为 g ( t ) g(t) g(t)在正交基 s i n t ( t ) , s i n ( 2 t ) sint(t),sin(2t) sint(t),sin(2t)下的坐标为(1,1)
关于这部分的理解，总感觉不是很易懂，下面讲一下我的理解
对于函数 g ( t ) = s i n ( t ) + s i n ( 2 t ) , t ∈ N g(t)=sin(t)+sin(2t), t\in \Bbb N g(t)=sin(t)+sin(2t),t∈N
可以换种写法
g ( t 0 ) = s i n ( t 0 ) + s i n ( 2 t 0 ) g(t_0)=sin(t_0)+sin(2t_0) g(t0)=sin(t0)+sin(2t0)
g ( t 1 ) = s i n ( t 1 ) + s i n ( 2 t 1 ) g(t_1)=sin(t_1)+sin(2t_1) g(t1)=sin(t1)+sin(2t1)
g ( t 2 ) = s i n ( t 2 ) + s i n ( 2 t 2 ) g(t_2)=sin(t_2)+sin(2t_2) g(t2)=sin(t2)+sin(2t2)
g ( t 3 ) = s i n ( t 3 ) + s i n ( 2 t 3 ) g(t_3)=sin(t_3)+sin(2t_3) g(t3)=sin(t3)+sin(2t3)
g ( t 4 ) = s i n ( t 4 ) + s i n ( 2 t 4 ) g(t_4)=sin(t_4)+sin(2t_4) g(t4)=sin(t4)+sin(2t4)
因为 t ∈ N t \in \Bbb N t∈N,所以只是举了几个简单的例子。
[ g ( t 0 ) g ( t 1 ) g ( t 2 ) g ( t 3 ) g ( t 4 ) ] = [ s i n t ( 0 ) s i n ( t 1 ) s i n ( t 2 ) s i n ( t 3 ) s i n ( t 4 ) ] + [ s i n ( 2 t 0 ) s i n ( 2 t 1 ) s i n ( 2 t 2 ) s i n ( 2 t 3 ) s i n ( 2 t 4 ) ] \begin{bmatrix}g(t_0) \\ g(t_1)\\g(t_2)\\g(t_3)\\g(t_4)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}sint(_0)\\sin(t_1)\\sin(t_2)\\sin(t_3)\\sin(t_4) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}sin(2t_0)\\sin(2t_1)\\sin(2t_2)\\sin(2t_3)\\sin(2t_4) \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎢⎡g(t0)g(t1)g(t2)g(t3)g(t4)⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎡sint(0)sin(t1)sin(t2)sin(t3)sin(t4)⎦⎥⎥⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎢⎡sin(2t0)sin(2t1)sin(2t2)sin(2t3)sin(2t4)⎦⎥⎥⎥⎥⎤
t t t是连续的，所以上式中的向量应该是有无限多个，这里只列举了几个离散的
由此可以看出 g ( t ) , s i n ( t ) , s i n ( 2 t ) g(t),sin(t),sin(2t) g(t),sin(t),sin(2t)都可以看出函数向量，并且 s i n ( t ) , s i n ( 2 t ) sin(t),sin(2t) sin(t),sin(2t)正交
4.4 如何在正交基坐标系下的坐标
我们先来看个例子，假设 w → = 2 u → + 3 v → \overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v} w
=2u
+3v
其中 u → = [ − 1 1 ] \overrightarrow{u}= \begin{bmatrix}-1\\ 1 \end{bmatrix} u
=[−11]
v → = [ 1 1 ] \overrightarrow{v}= \begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix} v
=[11]
通过点积：
u → ⋅ v → = 0 \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} =0 u
⋅v
=0可以知道， u → \overrightarrow{u} u
和 v → \overrightarrow{v} v
相互垂直
w → \overrightarrow{w} w
在笛卡尔坐标系中的坐标为 ( 2 , 3 ) (2,3) (2,3)，其中在正交基 u → \overrightarrow{u} u
和 v → \overrightarrow{v} v
下的坐标可以通过以下方法来求得：
w → ⋅ u → u → ⋅ u → = ( 1 , 5 ) ⋅ ( − 1 , 1 ) ( − 1 , 1 ) ( − 1 , 1 ) = 2 \frac{\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u}}{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}}=\frac{(1,5)\cdot(-1, 1)}{(-1, 1)(-1,1)}=2 u
⋅u
w
⋅u
=(−1,1)(−1,1)(1,5)⋅(−1,1)=2
这么做的原因，如下图所示，为高中学的向量知识。并且只有在正交基下才可以这么做
4.5 如何求 g ( t ) g(t) g(t)在 s i n ( t ) sin(t) sin(t)和 s i n ( 2 t ) sin(2t) sin(2t)这组正交基下的坐标
对于 g ( t ) = s i n ( t ) + s i n ( 2 t ) g(t)=sin(t)+sin(2t) g(t)=sin(t)+sin(2t)
由4.4的内容可知， g ( t ) g(t) g(t)在 s i n ( t ) sin(t) sin(t)上的分量如下
g ( t ) ⋅ s i n ( t ) s i n ( t ) ⋅ s i n ( t ) = ∫ 0 2 π g ( t ) ⋅ s i n ( t ) d t ∫ 0 2 π s i n 2 ( t ) d t = 1 \frac{g(t)\cdot sin(t)}{sin(t)\cdot sin(t)}=\frac{\int_{0}^{2\pi}g(t)\cdot sin(t)d_t}{\int_{0}^{2\pi}sin^2(t)d_t}=1 sin(t)⋅sin(t)g(t)⋅sin(t)=∫02πsin2(t)dt∫02πg(t)⋅sin(t)dt=1
g ( t ) g(t) g(t)在 s i n ( 2 t ) sin(2t) sin(2t)上的分量如下
g ( t ) ⋅ s i n ( 2 t ) s i n ( 2 t ) ⋅ s i n ( 2 t ) = ∫ 0 2 π g ( t ) ⋅ s i n ( 2 t ) d t ∫ 0 2 π s i n 2 ( 2 t ) d t = 1 \frac{g(t)\cdot sin(2t)}{sin(2t)\cdot sin(2t)}=\frac{\int_{0}^{2\pi}g(t)\cdot sin(2t)d_t}{\int_{0}^{2\pi}sin^2(2t)d_t}=1 sin(2t)⋅sin(2t)g(t)⋅sin(2t)=∫02πsin2(2t)dt∫02πg(t)⋅sin(2t)dt=1
由此可得:
g ( t ) = s i n ( t ) + s i n ( 2 t ) g(t)=sin(t)+sin(2t) g(t)=sin(t)+sin(2t)
4.6 更一般的
对于之前的假设
f ( x ) = C + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s ( 2 π n T x ) + b n s i n ( 2 π n T x ) ) , n ∈ N f(x)=C+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_n sin(\frac{2\pi n}{T}x)), n \in \Bbb N f(x)=C+n=1∑∞(ancos(T2πnx)+bnsin(T2πnx)),n∈N
可以改写为：
f ( x ) = C ⏟ 基 1 下 的 坐 标 + ∑ n = 1 ∞ ( a n ⏟ 对 应 基 的 坐 标 c o s ( 2 π n T x ) + b n ⏟ 对 应 基 的 坐 标 s i n ( 2 π n T x ) ) , n ∈ N f(x)=\underbrace{C}_{基1下的坐标}+\sum_{n=1}^{\infty}(\underbrace{a_n }_{对应基的坐标}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+\underbrace{b_n }_{对应基的坐标} sin(\frac{2\pi n}{T}x)), n \in \Bbb N f(x)=基1下的坐标
C+n=1∑∞(对应基的坐标
ancos(T2πnx)+对应基的坐标
bnsin(T2πnx)),n∈N
也就是说向量 f ( x ) f(x) f(x)将要分解到 C → , a 0 → , b 0 → , a 1 → , b 1 → ⋯ \overrightarrow{C},\overrightarrow{a_0},\overrightarrow{b_0},\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{b_1}\cdots C
,a0
,b0
,a1
,b1
⋯上，因此这组正交基为 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) ) {1, cos(\frac{2\pi n}{T}x),sin(\frac{2\pi n}{T}x))} 1,cos(T2πnx),sin(T2πnx))
这组正交基有很多，而非3个
可以得到
a n = ∫ 0 T f ( x ) c o s ( 2 π n T x ) d x ∫ 0 T c o s 2 ( 2 π n T x ) d x = 2 T ∫ 0 T f ( x ) c o s ( 2 π n T x ) d x a_n=\frac{\int_{0}^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{\int_{0}^{T}cos^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx an=∫0Tcos2(T2πnx)dx∫0Tf(x)cos(T2πnx)dx=T2∫0Tf(x)cos(T2πnx)dx
b n = ∫ 0 T f ( x ) s i n ( 2 π n T x ) d x ∫ 0 T s i n 2 ( 2 π n T x ) d x = 2 T ∫ 0 T f ( x ) c o s ( 2 π n T x ) d x b_n=\frac{\int_{0}^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{\int_{0}^{T}sin^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx bn=∫0Tsin2(T2πnx)dx∫0Tf(x)sin(T2πnx)dx=T2∫0Tf(x)cos(T2πnx)dx
C C C也可以求出来
因此
C = a 0 2 C=\frac{a_0}{2} C=2a0
至此，傅里叶级数的公式推导出来了，就像教材里的那样了
4.7复数形式的傅里叶级数
这部分公式推导可以参考博客：傅里叶级数 三角形式 到 复数形式
或者百度文库的文章：傅里叶级数的复数形式
最终的形式为 f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ⋅ e i 2 π n x T f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n \cdot e^{i\frac{2\pi nx}{T}} f(x)=n=−∞∑∞cn⋅eiT2πnx
其中：
c n = 1 T ∫ x 0 x 0 + T f ( x ) ⋅ e − i 2 π n x T d x c_n=\frac{1}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{T}}dx cn=T1∫x0x0+Tf(x)⋅e−iT2πnxdx
5傅里叶级数到傅里叶变换
里叶系列（二）傅里叶变换的推导
从傅立叶级数到傅立叶变换