天体物理学中的输运：II. 膨胀星云中的对流扩散
引言：为了对行星状星云（PN）和超新星遗迹（SNR）的图像进行建模，需要对膨胀层的厚度进行参数化，并涉及相关的物理过程。例如，可以假设膨胀发射层中的粒子数密度是恒定的或由某种扩散过程导致的变化。
先前对漂移扩散的分析已经涵盖了稳态情况，使得瞬态状态成为进一步研究的主题。一维漂移扩散由Fick的第二方程来描述，这是一个偏微分方程（PDE）。报道了对上述方程进行正在进行的研究的两个例子：提出了一种分析和数值方法，实现了四种不同的方法。
在行星状星云（PN） A39给定的天体物理环境中所采用的参数，将新结果应用于天体物理图像的形成。将一维漂移扩散与扩散和漂移的数学理论框架中进行了回顾，以避免重复。为了避免重复，采用以下天体物理单位：长度单位为pc，时间单位为yr。在这些单位下，平流速度v用pc/yr表示，扩散系数用pc^2/yr表示。
现在假设v为负：解为C(x)=A+Be−vDx.(3)边界条件给出Ca,b(x)=Cm(e−vxD−e−vaD)−e−vaD+e−vbD a≤x≤b 下游侧,和Cb,c(x)=Cm(e−vcD−e−vxD)−e−vbD+e−vcD.给定长度为side的一维片段，可以通过引入数值参数NDIM=sideλ来实现随机行走，其中λ是步长。
假设边界条件为u(0,t)=0，u(L,t)=0，密度在t=0时的分布为u(x,0)=f(x)，有以下用傅里叶级数表示的解：u(x,t)=N01L(−2(sinh(A)−cosh(A))(cosh(B)+sinh(B))Ifx(∑n=0∞sin(πxnL)))，其中A=(4D2π2n2+L2v2)t4DL2，B=xv2D，以及Ifx=∫L0 f(x)(cosh(xv2D)+sinh(xv2D))sin(πxnL)e−xvDdx。
其中N0是x=0，t=0处的粒子数。现在分析三种类型的初始条件。首先要分析的是高斯密度分布型的情况：u(x,0)=e−(x−L2)2b2，其中b是可调参数。
积分为IGauss=−I4b((erf((2IDπn−Lv)b2+2DL24bDL) +erf((−2IDπn+Lv)b2+2DL24bDL))e(Iπn b2D−L b2v2+2DL2)(IDπn−Lv2)4D2L2 −e(IDπn+Lv2)(Iπn b2D+L b2v2−2DL2)4D2L2(erf((2IDπn+Lv)b2+2DL24bDL) +erf((−2IDπn−Lv)b2+2DL24bDL)))π−−√。
其中I=−1−−−√。对于高斯密度分布的情况，不同速度值下的解。抛物线密度分布型的情况：u(x,0)=4x(L−x)L2。积分为Iparabola=1(4D2π2n2+L2v2)3×(−256L((2nπ(−12D2Lπ2n2v+D3π2n2−18L3v3−34DL2v2)Dcos(πn)+sin(πn)(D4π4n4+3D3Lπ2n2v−116L4v4−14DL3v3))cosh(Lv2D)+(−2nπ(−12D2Lπ2n2v+D3π2n2−18L3v3−34DL2v2)。
+((π3(n22−18)D3+(n2+14)π2vLD22−L2Dπv28+L3v38)sin(πn) +cos(πn)π(π2(n2−14)D2−DLπv2+L2v24)nD⎞⎠⎟sinh(Lv2D) +(π2(n2−14)D2+DLπv2+L2v24)πnD⎞⎠⎟L2–√D。
曲面图的形式展示了三角解作为x和t的函数。星云A39非常圆，可以看作是球对称的一个例。A39的壳层半径Rshell为Rshell=2.42×1018Θ77D21 cm=0.78 pc，其中Θ77是以77"为单位的角半径，D21是以2.1 kpc为单位的距离。
结论：PDE和边界条件针对带有漂移的扩散问题，已经推导出了一个傅里叶级数的新解。上述解针对初始时刻 t = 0 时的三种密度分布类型进行了特定化，包括高斯、抛物线和三角型。
将时间以年为单位固定，速度选择为3.521 × 10−5 pc/yr，因此选择扩散系数约为10−7 pc2/yr。图像理论对于类似星云A39这样的球对称发射体，采用了具有恒定密度的前进层、带有漂移的静止对流、发射层的几何轮廓以及存在漂移的时间相关扩散模型进行建模。
确定A39的球形度为97％，但在空间尺度和发射强度方面存在一些不对称性。解释这些异常现象需要引入位置角度的速度概念，已经开始使用。
