SVD Compression for Magnetic Resonance Fingerprinting in the Time Domain,
本文源自IEEE TRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING, VOL. 33, NO. 12, DECEMBER 2014,
文章可以从这里下载，这里主要写写本人对这篇文章的翻译与理解。
摘要
磁共振指纹是一种获取和处理磁共振数据的技术，它可以同时通过模式识别算法同时提供不同组织参数的定量图谱。一个预先定义的字典模型可以通过计算观测信号和字典中的每一个信号的内积来实现。这个字典以磁共振参数和模式识别算法的不同组合，使用布洛赫方程方程来仿真可能的信号演变。尽管这一匹配算法已经表明能够准确地预测感兴趣的磁共振参数，我们希望能有一个更有效的方法来获取定量图像。我们提出采用奇异值分解来压缩字典，这将会提供一个低秩逼近方法。通过压缩时间域内的字典大小，我们能够在不牺牲前文描述的原始方案的高信噪比的情况下，加速模式识别算法，加速因子为3.4到4.8。
关键词
降维，磁共振成像，模式识别与分类，奇异值分解
介绍
磁共振指纹（MRF）定量成像
字典可以用 D∈Cx×t ，其中 n 表示参数组合数，t表示时间点数。用 dj,j=1,...,n 表示D的第j行，或者字典的第j个词目。正如文献[1]中所描述的，对于一个观测到的信号演变，它们的字典匹配由一个类似查询或者模板匹配的过程决定。观测到的信号演变，用 x 表示，用它和字典词条的每一个词目进行比较，从而决定哪一个词目以最高概率匹配，然后就把它所在词目的值唯一地分派给T1, T2 ,非共振。字典的词目 dl 可选为并以满足下式
dl=argmaxdj,j=1,...,n|djx∗|(1)
x∗ 表示向量 x 的共轭转置，|⋅|表示模值。将字典词目和测量信号演变归一化为单位长度，例如 ∥x∥=∥dj∥=1,j=1,...,n ，其中 ∥⋅∥ 表示常用的欧几里得范数。一旦我们获得匹配，就将已匹配词条对应的值赋给 T1 , T2 ,非共振。
奇异值分解背景
每个矩阵 A∈Cp×q 都可以写成奇异值分解形式，可用用下式表示
A=UΣV∗
U∈Cp×p , V∈Cq×q , Σ∈Rp×q 是一个对角矩阵，它包含了不递增的奇异值
σi,i=1,...,min{p,q} 。 U 的列可用u1,u2,...,up表示, 称为左奇异向量，同样地， V 的列用v1,...vq表示，称为右奇异向量。
矩阵A的秩k逼近可用矩阵的截取前k个秩对应的矩阵的和来表示，写作下式
A(k)=∑i=1kσiuiv∗i(2)
文献[26]可以证明，下式是A最好的低秩逼近
∥A(k)−A∥2=inf∥B−A∥2
其中下确界由所有的 p×q 矩阵 B 决定，它们的秩都小于等于k。
A 的总能量可以定义为它所有奇异值的平方和
E=∑i=1rσ2i(3)
能量比[6]表示秩k逼近保留的能量 A(k) 在总能量 E 中的占比。
e(k)=1E∑i=1kσ2i(4)
对低秩逼近而言，能量比在决定一个适当的截断索引时很有用，它能像期望的那样保留初始矩阵的大量信息。
方法
我们将会使用模式识别算法，类似于由Turk和Pentland在文献[15]中提出的本征脸算法，人脸识别是通过将图像投影到特征向量张成的上低维子空间来执行的， 这些特征向量对应对打的特征值。
我们把奇异值分解应用到磁共振指纹的字典上，写作
D=UΣV∗(5)
这里 U,V 和 Σ 和前文部分描述的一样。在此文中令 r=rank(D) ，我们假定 n>t 。
对于一个给定的索引 k,1≤k≤r ，则（2）式中截断奇异值分解可以写成矩阵形式，产生以下字典的低秩逼近
D≈UkΣkV∗k
其中 Uk=[u1,...,uk] 表示包含前k个左奇异向量，同理，适用于 Σk ， Vk 。
奇异值分解的另一条性质是前r个右奇异向量 {v1,...,vr} 构成 D 的行的正交基， 也即，每一个字典条目可以写成这些正交向量的线性组合。将字典投影到由前k个奇异值向量 {v1,...,vk} 张成的子空间上，我们可以得到字典在低维空间 Ck 上的表示形式，通过乘以
Dk=DVk
为了简便， 我们将把这个低维空间称为”奇异值分解空间（SVD space）“。
奇异值分解空间的模板匹配
将观测到的磁共振信号 x 投影到由Vk中的向量张成的同一子空间上，可以通过乘以 Vk
xk=xVk
到此为止(1)式中的模板匹配就可以在奇异值分解空间中计算了。
我们搜索字典词目就变成了下式
dl=argmaxdj,j=1,...,n|(djVk)x∗|=argmaxdj,j=1,...,n|(djVk)xVk∗|=argmaxdj,j=1,...,n|djVkV∗kx∗|
注意到由于 U 是一个酉矩阵，积VkV∗k将会随着截断索引 k <script type="math/tex" id="MathJax-Element-127">k</script>增加而逼近单位矩阵，从而逼近初始模板匹配方案。我们在算法1中列出了奇异值分解空间内的模板匹配步骤