SVD Compression for Magnetic Resonance Fingerprinting in the Time Domain,
本文源自IEEE TRANSACTIONS ON MEDICAL IMAGING, VOL. 33, NO. 12, DECEMBER 2014,
文章可以從這裡下載下傳，這裡主要寫寫本人對這篇文章的翻譯與了解。
摘要
磁共振指紋是一種擷取和處理磁共振資料的技術，它可以同時通過模式識别算法同時提供不同組織參數的定量圖譜。一個預先定義的字典模型可以通過計算觀測信号和字典中的每一個信号的内積來實作。這個字典以磁共振參數和模式識别算法的不同組合，使用布洛赫方程方程來仿真可能的信号演變。盡管這一比對算法已經表明能夠準确地預測感興趣的磁共振參數，我們希望能有一個更有效的方法來擷取定量圖像。我們提出采用奇異值分解來壓縮字典，這将會提供一個低秩逼近方法。通過壓縮時間域内的字典大小，我們能夠在不犧牲前文描述的原始方案的高信噪比的情況下，加速模式識别算法，加速因子為3.4到4.8。
關鍵詞
降維，磁共振成像，模式識别與分類，奇異值分解
介紹
磁共振指紋（MRF）定量成像
字典可以用 D∈Cx×t ，其中 n 表示參數組合數，t表示時間點數。用 dj,j=1,...,n 表示D的第j行，或者字典的第j個詞目。正如文獻[1]中所描述的，對于一個觀測到的信号演變，它們的字典比對由一個類似查詢或者模闆比對的過程決定。觀測到的信号演變，用 x 表示，用它和字典詞條的每一個詞目進行比較，進而決定哪一個詞目以最高機率比對，然後就把它所在詞目的值唯一地分派給T1, T2 ,非共振。字典的詞目 dl 可選為并以滿足下式
dl=argmaxdj,j=1,...,n|djx∗|(1)
x∗ 表示向量 x 的共轭轉置，|⋅|表示模值。将字典詞目和測量信号演變歸一化為機關長度，例如 ∥x∥=∥dj∥=1,j=1,...,n ，其中 ∥⋅∥ 表示常用的歐幾裡得範數。一旦我們獲得比對，就将已比對詞條對應的值賦給 T1 , T2 ,非共振。
奇異值分解背景
每個矩陣 A∈Cp×q 都可以寫成奇異值分解形式，可用用下式表示
A=UΣV∗
U∈Cp×p , V∈Cq×q , Σ∈Rp×q 是一個對角矩陣，它包含了不遞增的奇異值
σi,i=1,...,min{p,q} 。 U 的列可用u1,u2,...,up表示, 稱為左奇異向量，同樣地， V 的列用v1,...vq表示，稱為右奇異向量。
矩陣A的秩k逼近可用矩陣的截取前k個秩對應的矩陣的和來表示，寫作下式
A(k)=∑i=1kσiuiv∗i(2)
文獻[26]可以證明，下式是A最好的低秩逼近
∥A(k)−A∥2=inf∥B−A∥2
其中下确界由所有的 p×q 矩陣 B 決定，它們的秩都小于等于k。
A 的總能量可以定義為它所有奇異值的平方和
E=∑i=1rσ2i(3)
能量比[6]表示秩k逼近保留的能量 A(k) 在總能量 E 中的占比。
e(k)=1E∑i=1kσ2i(4)
對低秩逼近而言，能量比在決定一個适當的截斷索引時很有用，它能像期望的那樣保留初始矩陣的大量資訊。
方法
我們将會使用模式識别算法，類似于由Turk和Pentland在文獻[15]中提出的本征臉算法，人臉識别是通過将圖像投影到特征向量張成的上低維子空間來執行的， 這些特征向量對應對打的特征值。
我們把奇異值分解應用到磁共振指紋的字典上，寫作
D=UΣV∗(5)
這裡 U,V 和 Σ 和前文部分描述的一樣。在此文中令 r=rank(D) ，我們假定 n>t 。
對于一個給定的索引 k,1≤k≤r ，則（2）式中截斷奇異值分解可以寫成矩陣形式，産生以下字典的低秩逼近
D≈UkΣkV∗k
其中 Uk=[u1,...,uk] 表示包含前k個左奇異向量，同理，适用于 Σk ， Vk 。
奇異值分解的另一條性質是前r個右奇異向量 {v1,...,vr} 構成 D 的行的正交基， 也即，每一個字典條目可以寫成這些正交向量的線性組合。将字典投影到由前k個奇異值向量 {v1,...,vk} 張成的子空間上，我們可以得到字典在低維空間 Ck 上的表示形式，通過乘以
Dk=DVk
為了簡便， 我們将把這個低維空間稱為”奇異值分解空間（SVD space）“。
奇異值分解空間的模闆比對
将觀測到的磁共振信号 x 投影到由Vk中的向量張成的同一子空間上，可以通過乘以 Vk
xk=xVk
到此為止(1)式中的模闆比對就可以在奇異值分解空間中計算了。
我們搜尋字典詞目就變成了下式
dl=argmaxdj,j=1,...,n|(djVk)x∗|=argmaxdj,j=1,...,n|(djVk)xVk∗|=argmaxdj,j=1,...,n|djVkV∗kx∗|
注意到由于 U 是一個酉矩陣，積VkV∗k将會随着截斷索引 k <script type="math/tex" id="MathJax-Element-127">k</script>增加而逼近機關矩陣，進而逼近初始模闆比對方案。我們在算法1中列出了奇異值分解空間内的模闆比對步驟