範數、奇異值

【範數】

格式：n=norm(A,p)

功能：norm函數可計算幾種不同類型的矩陣範數,根據p的不同可得到不同的範數

以下是Matlab中help norm 的解釋

NORM Matrix or vector norm.

For matrices…

NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)).

NORM(X,2) is the same as NORM(X).

NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum,

= max(sum(abs(X))).

NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum,

= max(sum(abs(X’))).

NORM(X,’fro’) is the Frobenius norm, sqrt(sum(diag(X’*X))).

NORM(X,P) is available for matrix X only if P is 1, 2, inf or ‘fro’.

For vectors…

NORM(V,P) = sum(abs(V).^P)^(1/P).

NORM(V) = norm(V,2).

NORM(V,inf) = max(abs(V)).

NORM(V,-inf) = min(abs(V)).

1、如果A為矩陣

n=norm(A) ,傳回A的最大奇異值，即max(svd(A))

n=norm(A,p) ,根據p的不同，傳回不同的值

p 傳回值

1 傳回A中最大一列和，即max(sum(abs(A)))

2 傳回A的最大奇異值，和n=norm(A)用法一樣

inf 傳回A中最大一行和，即max(sum(abs(A’)))

fro’ 傳回A和A‘的積的對角線和的平方根，即sqrt(sum(diag(A’*A)))

2、如果A為向量

norm(A,p) 傳回向量A的p範數。即傳回 sum(abs(A).^p)^(1/p),對任意p大于1小于正無窮；

norm(A) 傳回向量A的2範數，即等價于norm(A,2)，即sum(abs(A).^2)^(1/2)

norm(A,inf) 傳回max(abs(A))

norm(A,-inf) 傳回min(abs(A))

【奇異值】

格式：[U,S,V] = svd(X)

解釋： [U,S,V] = svd(X) produces a diagonal matrix S of the same dimension as X, with nonnegative diagonal elements in decreasing order, and unitary matrices U and V so that X = U*S*V’.

假設X為mn矩陣，則S為奇異值矩陣，它為m*n階對角矩陣，其對角線上的值為X^* X的非負特征值的算術平方根；U為m*m階酉矩陣，它是X*X^（X的共轭轉置）的特征向量；V為n*n階酉矩陣，它是X^（X的共轭轉置）* X的特征向量；